矢量分析与场论ok

1复习矢量分析场论2只有大小而没有方向的量(长度、时间、电压、体积、温度、电量等）EOP首尾既有大小又有方向的量(力、速度、电场强度、磁感应强度等）E、E或OP模或绝对值（|E|、E、|E|或|OP|）③矢量的方向：单位长度矢量：E0，|E0|=1E=|E|E0一、标量：二、矢量：①矢量的表示：②矢量的大小：（一）矢量分析3（一）矢量分析三、矢量的坐标表示：①直角坐标系：xe0xyzAAxAyAzzzyyxxeAeAeAAyeze4（一）矢量分析三、矢量的坐标表示：②圆柱坐标系：0xyzAzzeAeAeAAA0A+0A2-Az+eeAx=AcosAAy=AsinAAz=AzA2=Ax2+Ay2tgA=Ay/AxAz=AzAz5（一）矢量分析三、矢量的坐标表示：③球坐标系：0xyzAA0Ar+0A20AAx=ArsinAcosAAy=ArsinAsinAAz=ArcosAAr2=Ax2+Ay2+Az2tgA=Ay/AxcosA=Az/ArAeAeAeAArreere6（一）矢量分析四、矢量的加法：①三角形法则：ACBABC②交换律：ABBA③结合律：CBACBA)()(④分配律：BkAkBAk)(⑤减法：)(BABA7（一）矢量分析五、矢量的乘法：（1）标量积（内积、点积）：A),cos(BAABBAB①交换律：ABBA②分配律：CABACBA)(③与数量点积：)()(BAkBAk④特殊的点积：同向、反向、正交8（一）矢量分析五、矢量的乘法：（1）标量积、内积、点积：⑤在坐标系内计算点积：kAjAiAAzyxkBjBiBBzyx)()(zzyyxxzzyyxxeBeBeBeAeAeABAzzyyxxBABABAzzBABABABABABABABArr直角坐标：柱坐标：球坐标：9（一）矢量分析五、矢量的乘法：（2）矢量积、叉积：ABACB①大小：方向：CABACBA)(③与数量叉积：)()(BAkBAk④特殊的叉积：平行：),sin(||BAABCC右手定则②分配律：正交：0BAABBA||10（一）矢量分析五、矢量的乘法：（二）矢量积、叉积：)(ABBA⑤不服从交换律：⑥在坐标系内计算叉积：xyzzyeBABA)(yzxxzeBABA)(zxyyxeBABA)(zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA111.场的分类动态场：场量与时间有关（时变场）静态场：场量与时间无关（恒定场）标量场：如：温度场T(x,y,z)、密度场(x,y,z)矢量场：如：速度场（二）场论空间任一点都有一标量值，是空间坐标(、时间)的函数。空间任一点都有一矢量A，A是空间坐标(、时间)的函数。),,,(),,,,(tzyxAtzyxf),,(),,,(zyxAzyxf,力场),,(zyxv),,(zyxF122.图示法：u(x,y,z)：等值面、等值线u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢线—切向→场量的方向，疏密程度→场量的大小。场的表示方法1.数学法：f=f(x,y,z)标量场矢量场（二）场论zzyyxxezyxAezyxAezyxAzyxA),,(),,(),,(),,(132、标量场的梯度coscoscoszyxl设=(x,y,z)，方向导数表示沿某一方向l的变化率：)coscos(cos)(zyxzyxeeeezeyexle0xyzPle①方向导数：②梯度grad、：zyxezeyex梯度为矢量，其大小为最大变化率，方向为增大最快的方向。任一点的梯度垂直于过此点的等值线（面）的方向。zyxezeyex哈密顿算子14☻标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。☻标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）2、标量场的梯度15梯度运算的基本公式uufufuvvuuvvuvuuccuc'00参考16计算场f(r)=xy2z在A=ax+2ay+2az方向的方向导数及在点(2，1，0)处，在B=2ax–ay+2az方向的方向导数。解：zfyfxffzyxaaa=axy2z+ay2xyz+azxy2323231zyxAAaaaAa22323431ddxyxyzzyfAfAa323132zyxBBaaaBa34323232dd)0,1,2(22)0,1,2()0,1,2(xyxyzzyfBfBa例1.1172.散度divA、·A：（二）场论3、矢量场的散度：SSnSdAdSA1.矢量场的通量：VsdAASV0lim矢量场中某点的散度为标量，是点的空间位置的函数。设A=Axex+Ayey+Azez，通量表示通过某一表面S的矢量线的根数：SA通过某一闭合面S的通量为：SSdAVzyxdVzAyAxA)(0xyzxyzzAyAxAzyx18通量的物理意义：以流体为例，若0dSSv每秒有净流量流出，包面内有正源0dSSv每秒有净流量流入，包面内有负源每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等0dSSv0v0v0v该点有正源该点有负源该点无源19思考：矢量场散度的性质：a.一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。b.空间有矢量场的净通量发出——有矢量线从该点开始——空间有矢量场的净通量汇入——有矢量线在该点终止——空间没有矢量线的发出或汇入——矢量线仅仅是通过——有散场无散场矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态。PQM0A（Q点）0A（M点）0A（P点）20考虑一个气筒,突然打开气门,被压缩的空气的流速将是越靠近气门越大。设v=axkx，求v。解：kxvxv想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同该点与源点的距离成正比，为v(r)=arkr，求v。解：krkrrrrvrrvr3)(1)(12222表明气筒内各点都存在着密度为k的气流。表明空间各点都存在着密度为3k的气流。vx例1.2例1.321（二）场论4、矢量场的旋度：LLldAdlAcos①矢量场的环量：设A=Axex+Ayey+Azez，环量表示沿某闭合曲线L的线积分：LAdl22②环量的物理意义：0dclA——表明c包围涡旋源0dclA——表明c不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场4、矢量场的旋度：23旋度的定义：对M点，仿照散度的定义，取ScMSlAdlim)(0（——环流面密度）显然，上面的算式与积分路径的选取有关SSScMScMScMS123dlimdlimdlim)(0)(0)(0lAlAlAMAc1c2c3n3n2n参考24定义：}dlimmax{rot)(0ScMSlAnA其中n是最大环流密度所在环路的单位法线方向而与n相垂直的面则称为涡旋面或旋涡面SScMScMS23dlimdlim)(0)(0lAlA、分别是rotA在n3、n2上的投影则即ScMS3dlimrot)(03lAnAScMS2dlimrot)(02lAnA(rotation)参考25正交系中，矢量场A在任意点M点的旋度可定义为：3)(032)(021)(01332211dlimdlimdlimrotSSScMScMScMSlAalAalAaA式中S1、S2、S3分别是任意环路所围成的面在a1坐标面、a2坐标面和a3坐标面上的投影，其边界分别是c1、c2和c3。参考26（二）场论4、矢量场的旋度：zyxzyxAAAxxxeee③旋度rotA、×A：SldAAArotLS0limzxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyA)()()(矢量场中某点的旋度为矢量，是点的空间位置的函数。方向：是使环量密度取最大值的曲面元S的方向大小：环量密度的最大值270dclFF做正功，F与c方向大体一致，动能增加0dclFF做负功，F与c方向大体相反，动能减小引力场G0dd21ccclGlGc1c2G涡旋场F0d1clG0d2clG28（二）场论5、高斯散度定理:SLSdAldAdVASdAVS斯托克斯定理：29①矢量场和源的关系无旋场：一个矢量场F，对任意闭合路径都有0dclFF=0F=f无散场：一个矢量场F，对任意闭合面都有0dSSFF=0F=A6、亥姆霍兹定理源是场的因，场同源一起出现。若F=0，则F≠0——散度源（通量源）若F=0，则F≠0——旋度源（涡旋源）30例：判断矢量场的性质FFFFFF0000006、亥姆霍兹定理①矢量场和源的关系31②亥姆霍兹定理的基本内容1.一个矢量场只可能有两种源——旋度源和散度源，此外，再无其它类型的源。2.若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。已知在电磁场中矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件电流密度J矢量A唯一地确定电荷密度场域边界条件6、亥姆霍兹定理32③矢量场的基本方程F=Fl+Fc(Fl0Fc0)若已知Fl=Fc=J则JFFFFcl微分形式的基本方程ScVSSJlFSFdddVd积分形式的基本方程6、亥姆霍兹定理33④三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为z轴)的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为z轴)的一族子午面上，场F的分布都相同，即F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。3.球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场F的分布都相同，即F=f(r)，则称这个场为球面对称场。6、亥姆霍兹定理34课堂练习题（一）思考题：1、标量场的梯度、矢量场的散度、旋度的物理意义2、亥姆霍兹定理的内容和意义35课堂练习题（二）式中：0A0),,(zyxzzyyxxeAeAeAA2、证明：362、标量场的梯度参考372、标量场的梯度参考38在直角坐标系中：2、标量场的梯度参考39☻标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向→该点场变化最大（增大）的方向，数值→变化最大方向上场的空间变化率。☻标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。§1.3标量