第1章、矢量分析

一、几个基本概念1、标量只有大小没有方向的物理量。2、矢量既有大小又有方向的物理量。3、物理量任一代数量被赋于“物理单位”就构成物理量。4、场广义而言，如果在空间中一个区域内的每一个点都有一个物理量的确定值与之对应，则在该区域中就构成了该物理量的场。标量场矢量场场静态场时变场标量场和矢量场的有关知识第1章、矢量分析关于的场三个基本问题：（1）场的基本性质及其分析方法（2）场与激励源的关系及相互作用（3）场与场的相互联系与相互作用矢量代数运算1.矢量的和差()()()xxxyyyzzzABABABABeee2.矢量的标量积和矢量积cosABABABABBAxxyyzzABABABABsinABABABnABBA标量积矢量积0,,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee()()()()()xxyyzzxxyyzzyzzyxzxxzyxyyxzAAABBBABABABABABABABeeeeeeeeexyzxyzxyzAAABBBeeeAB写成行列式形式:3.矢量的三重积1）标量三重积为2）矢量三重积为()()()ABCBCACAB()()()ABCBACCAB二、矢量线及其方程矢量线：线上的每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向。矢量方程：矢量线上任一点的切向长度元与该点矢量场的方向平行，即dlF0FdldzedyedxeldzyxzzyyxxFeFeFeF0dzdydxFFFeeeldFzyxzyxxyzdxdydzFFF，即为矢量线的微分方程，据此可绘出相应的矢量线。推出例：设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的任一点所产生的电场强度q(,,)MxyzrrqE304zeyexerzyx是点M的矢径。求其矢量线方程的通解。三、矢量与矢量场的不变特性),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,()(rFerFerFerFzFezFezFezFzyxFezyxFezyxFezyxFrFrrzzzzyyxx描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间一定的情况下，它们是唯一的，其大小与方向与所选择的坐标无关。)(r)(rF由场的不变特性，可得下列恒等式：2222222222FFFFFFFFFFrzzyxxxyyzzAAAAeee在直角坐标系内的任一矢量可表示为空间任意点其坐标的单位矢量,,Mxyz,,xyzeeexyzeee相互正交，而且遵循右手螺旋法则1.直角坐标系1.1三种常用的坐标系1.1.1坐标系的构成各个面的面积元xdsdydzydsdxdzzdsdxdyddxdydz体积元柱坐标系中的三个坐标变量是ρ,,z通过空间任意点的坐标单位矢量为,它们相互正交，而且遵循右手螺旋法则2．柱坐标系,,Mz,,zeeezeee在点处沿方向的长度元分别是：面积元分别是:zdsdldlddzzdsdldlddzzdsdldldd体积元：zddldldldddzxyzox1x1x1zddzeeM,,Mz,,zeeedlddldzdldz柱坐标系的单位矢量球坐标系中的三个坐标变量是过空间任意点的坐标的单位矢量为它们相互正交，而且遵循右手螺旋法则3.球坐标系,,r,,Mr,,reeereee在点处沿方向的长度元分别是：面积元:2sinrdsdldlrddsinrdsdldlrdrdrdsdldlrdrd体积元：2sinrdVdldldlrdrdd,,Mr,,reeerdldrdlrdsindlrdxyzox1sinrreerdsinrded球坐标系的单位矢量1.1.2三种坐标系的坐标变量之间的关系1.直角坐标系与柱坐标系的关系cossinxyzzoxz(,,)(,,)(,,)xyzMzryzxry221112222sincosxyyyxtgxxyxyzz2.直角坐标系与球坐标系的关系sincossinsincosxryrzroxz(,,)(,,)(,,)xyzMzryzxry22222112222221112222cossinsincosrxyzxyzxyzxyzyyxtgxxyxy3.柱坐标系与球坐标系的关系sincosrzroxz(,,)(,,)(,,)xyzMzryzxry22112222sincosrzzzz1.1.3三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系1.直角坐标系与柱坐标系的关系cossin0sincos0001xyzzeeeeeecossin0sincos0001xyzzeeeeee2.柱坐标系与球坐标系的关系sin0coscos0sin010rzeeeeeesincos0001cossin0rzeeeeee3.直角坐标系与球坐标系的关系sincossinsincoscoscoscossinsinsincos0rxyzeeeeeesincoscoscossinsinsincossincoscossin0xryzeeeeee例1-1如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为,试求出它在直角坐标系下的各分量大小。zzAAAAeee解利用（1-16）式，容易得到cossinsincosxxxxzzxyyyyzzyzzzzzzzzAAAAAAAAAAAAAAAAAAeeeeeeeAeeeeeeeAeeeeeee将上式综合起来，写成简明矩阵形式为cossin0sincos0001xyzzAAAAAA例1-2写出空间任一点在直角坐标系下的位置矢量表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标系和球坐标系下的矢量。解在空间任一点的位置矢量为(,,)PxyzxyzxyzAeee利用例1-1中的结论，得zAzcossinAxysincosAxy于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为zzAee同理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为rrAe可见，位置矢量在不同坐标系下得表达式是不同的。代入,得cos,sinxy0zAAAz例1-3试判断下列矢量场是否是均匀矢量场：解1.由式（1-16）得E（1）柱坐标系中,其中都是常数。112sincoszEEEE=eee12,EE（2）在球坐标系中,其中是常数。0rEE=e0Ecossin,sincos,xyxyzzeeeeeeee代入已知的柱坐标表示式，可得到的直角坐标系表示式为EE12yzEEEee2212EE常数E121EtgE常数是均匀矢量场E1.2.1矢量表示法1.矢量的表示法矢量的三个分量是矢量可表示为A,,xyzAAAAxxyyzzAAAAeee矢量的长度或模值为AA222xyzAAAA1.2矢量表示法与矢量函数的微积分方向角:方向余弦:,,cos,cos,coscoscoscosxxyyzzAAAAAAAeAeAe据矢量标积的定义，分量Ax,Ay,Az是矢量A分别在坐标单位矢量方向上的投影，即,,xyzeee2.定义:模等于1的矢量叫做单位矢量,用表示.AAAA=AeeAe在直角坐标系中，则有AxyzcoscoscosAAeeee3.位置矢量(矢径):以坐标原点为起点，引向空间任一点的矢量，称为点的矢径.xyzxyzree+eMx,y,zrM222rxyzrrxyzcoscoscosrreeeeAe4.空间矢量xyzxxyyzzRrreee=222Rxxyyzz222222222RxyzxxRxxyyzzyyzzxxyyzzxxyyzzReeee矢量的单位矢量R1.2.2矢量代数运算1.矢量的和差()()()xxxyyyzzzABABABABeee2.矢量的标量积和矢量积cosABABABABBAxxyyzzABABABABsinABABABnABBA标量积矢量积0,,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee()()()()()xxyyzzxxyyzzyzzyxzxxzyxyyxzAAABBBABABABABABABABeeeeeeeeexyzxyzxyzAAABBBeeeAB写成行列式形式:3.矢量的三重积1）标量三重积为2）矢量三重积为()()()ABCBCACAB()()()ABCBACCAB1.2.3矢量函数的微积分1.矢量函数定义表示物理量的矢量一般都是一个或几个（标量）变量的函数，叫矢量函数定义模和方向都保持不变的矢量称为常矢,,,,,,xxyyzzx,y,zExyzExyzExyzEe+e+e例如2.矢量函数的导数在涉及到矢量场的许多实际问题中，常常会遇到求矢量函数对时间和空间坐标的变化率的问题，也就是要求对时间和空间坐标的导数.（一）矢量函数对空间坐标的导数设是单变量的矢量函数，它对的导数定义是00dlimlimduuuuuuuF+FFFΔu注意:一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导，就可得到的二阶导数以及更高阶导数.uFudduFF22dduF如果和分别是变量的标量函数和矢量函数，则它们之积的导数0000dlimdlimlimlimuuuuffffuufffuuuFF+FFFFFffF0uddddddfffuuuFFF和之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导数运算法则相同.fF0000dlimdlimlimlimuuuuffffuufffuuuFF+FFFFF11231123123011,,,,,,limuuuuuuuuuuuuuFFF111fffuuuFFF221221uuuu