24.1.2-垂直于弦的直径(公开课版)

24.1.2垂直于弦的直径木双中学:袁石林问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．证明：分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。连接OA，OA'.在∆OAA’中：∵OA=OA'∴∆OAA’是等腰三角形。又AA'⊥CD∴AM=MA’即CD是AA'的垂直平分线。这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A',因此⊙O关于直线CD对称。ODC如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点。过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A'，垂足为M，AA'M·OAA'CDM垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．即：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。你能从上面的证明中，找到哪些等量？AM=A’M弧AC=弧A’C弧AD=弧A’D判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故前两个图均不能，第三四个图可以！定理辨析1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．解：如下图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．由题设可知AB＝37m，CD＝7.23m，所以OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得R≈27.3m．因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m．AD＝AB＝×37＝18.5（m），2121弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.DCABO134cm本节课我们学了些什么？作业：课本P83页练习2，P89习题1-2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.