简单线性规划

551ABCOxy二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示_________________________________________确定区域步骤：__________、____________若c≠0，则_________、_________.直线定界特殊点定域原点定域直线定界直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式表示的区域及判定方法：复习回顾画出不等式组表示的平面区域。3x+5y≤25x-4y≤-3x≥13x+5y≤25x-4y≤-3x≥1在该平面区域上问题1：ｘ有无最大(小)值？问题２：ｙ有无最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？CABxyox=1CB设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件，求ｚ的最大值和最小值。3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1Ａx-4y=-33x+5y=25线性规划例：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。1255334xyxyx目标函数（线性目标函数）线性约束条件CBAx=1x-4y+3=03x+5y-25=0xOy约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数线性规划问题可行解可行域最优解有关概念x-4y≤-33x+5y≤25x≥1例1：求Z=2x+y的最小值，使x,y满足约束条件x-1=0x=1X-4y+3=0y=1∴B(1,1)当x=1,y=1时，Zmin=3解：画出满足x,y的条件所表示的区域，即阴影部分（如图）其表示斜率为-2的一组平行直线系，截距为z。从图上可知：当直线经过点B时，z有最小值。由Z=2x+y变形得y=-2x+z解得解线性规划问题的步骤：2、在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；3、通过解方程组求出最优解；4、作出答案。1、画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答3x+5y=25例2：已知x、y满足，设z＝ax＋y(a0)，若ｚ取得最大值时，对应点有无数个，求a的值。3x+5y≤25x－4y≤－3x≥1xyox-4y=-3x=1CBＡ解：当直线l：y＝－ax＋z与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有：kl＝kAC535124.4∵kAC＝kl=-a53∴-a=∴a=53例3：满足线性约束条件的可行域中共有多少个整数解。x+4y≤113x+２y≤10x0y01223314455xy03x+２y=10x+4y=11解：由题意得可行域如图:由图知满足约束条件的可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)故有四个整点可行解.误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误【例4】设变量x，y满足条件3x＋2y≤10，x＋4y≤11，x∈Z，y∈Z，x＞0，y＞0，求S＝5x＋4y的最大值．错解：依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x，y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A95，2312时，离原点距离最大，这时S＝5x＋4y取最大值，Smax＝1815.因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C(1,2)，这时S＝13，所以所求的最大值为13.错因分析：显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14，故上述解法不正确．对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象，则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．正解：与错解中第一段解题过程相同．因为x，y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起第一个通过的可行域的整点是B(2,1)，此时Smax＝14.1．常见的几种目标函数的最值的求法：①利用截距的几何意义；②利用斜率的几何意义；③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函数的最值．课堂总结小结:1．线性规划问题的有关概念;2.用图解法解线性规划问题的一般步骤;3.求可行域中的整点可行解。已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的范围．•首先将目标函数变形，明确它的几何意义，再利用解析几何相关知识求最值．[解题过程]依约束条件作出可行域为图中阴影部分．A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到达点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故zmin＝d2＝|0－5＋2|12＋－122＝92(2)z＝2y＋1x＋1＝2y＋12x＋1可以看作可行域内的点(x，y)与点Q－1，－12连线斜率k的2倍．其范围kQB≤k≤kQA而kQB＝1－－123－－1＝324＝38kQA＝3－－121－－1＝722＝74.故z＝2k∈34，72.[题后感悟]若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．2.已知实数x，y满足不等式组x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0.(1)求yx的最值；(2)求z＝x2＋y2的最值．解析：作出可行域如图所示．(1)令yx＝t，则y＝tx，由图像可知当直线y＝tx过点A时，斜率t最大．当直线y＝tx过点B时，斜率t最小．联立x＋2y－4＝0，2y－3＝0，得A1，32.联立x－y－2＝0，x＋2y－4＝0得B83，23.将x＝1，y＝32代入y＝tx，得32＝t·1，∴t＝32，∴yx的最大值为32.将x＝83，y＝23代入y＝tx，得23＝t·83，∴t＝14，∴yx的最小值为14.(2)过原点(0,0)作直线x＋2y－4＝0的垂线OP，垂足为P.联立x＋2y－4＝0，y＝2x，即P45，85，显然P不在可行域内．观察图像可知直线x＋2y－4＝0与2y－3＝0的交点A离原点最近，所以当x＝1，y＝32时，z取得最小值zmin＝1＋94＝134.观察图像可知直线y＝x－2与y＝32的交点C离原点最远．联立x－y－2＝0，2y－3＝0，得C72，32，所以当x＝72，y＝32时，目标函数z取最大值，zmax＝722＋322＝292.综上，当x＝1，y＝32时，z的最小值为134.当x＝72，y＝32时，z的最大值为292.•已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，求a的取值范围．[规范作答]由约束条件画出可行域(如图)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时，使直线在y轴上的截距最大，∴－a＜kCD，即－a＜－1，∴a＞1.