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第二章点直线的落影和平面形的阴影§2.1点的落影§2.2直线的落影§2.3直线平面形的阴影§2.1点的落影一、点的落影二、点在投影面上的落影三、点落在有积聚投影的承影面上的落影四、点在一般位置平面上的落影3一、点的落影点的影子一点落在任何承影面上的影子仍为一点，为照于该点的光线与承影面的交点。ALALBBpLBAp影子承影面规定：几何形体的影子，用与几何形体相同的字母，于右下角加脚注表示。求一点在承影面上的影子，就是求直线与面的交点问题。光线P4二、点在投影面上的落影当以投影面为承影面时，点的落影就是通过该点的光线对投影面的迹点。在两投影面体系中，这样的迹点有两个，如下图(a)所示。首先与哪个投影面相交；在首先相交的那个投影面上的迹点，就是所求的落影。后相交的点称为虚影(一般不必做出)。5（a）空间状况二、点在投影面上的落影（1）点落在V面上的影子VHOXLAAVaV'aVaa'll'ax45°45°45°aV'a'all'45°aVOXax（b）投影图645°45°l'（1）点落在V面上的影子aV'a'aaVOXax（b）投影图已知A（a,a'），求其落在V投影面上影子的投影。求解步骤：先过a、a'分别作45°方向的光线投影l、l'；因aV应在l上，又在OX上，故l与OX交得aV；由aV作联系线，即与l'交得aV'二、点在投影面上的落影YYlY点A的落影Av(av')与其投影a'之间的水平距离和铅垂距离，都正好等于点A对V面的距离，即投影a对OX轴的距离。7（a）空间状况（2）点落在H面上的影子VHOXLAAHaHll'axaH'45°45°a'a45°a'all'45°ahOXax（b）投影图ah'二、点在投影面上的落影8已知A（a,a'），求其落在H投影面上影子的投影。（2）点落在H面上的影子a'a45°l'45°ahOXax（b）投影图ah'求解步骤：先过a、a'分别作45°方向的光线投影l、l'；因a0'应在l'上，又在OX上，故l与OX交得aH'；由之作联系线，即与l交得aH二、点在投影面上的落影lZZZ点A的落影AH(aH)与其投影a之间的水平距离和铅垂距离，都正好等于点A对H面的距离，即投影a'对OX轴的距离。9二、点在投影面上的落影(3)结论◆空间点在某投影面上的落影,与其同面投影间的水平距离和垂直距离，等于空间点对该投影面的距离。A点落于V面A点落于H面10二、点在投影面上的落影(3)结论◆因此，只要给出了点对投影面的距离，就可以在单独一个投影中求作点在该承影面上的落影。这种影子的方法叫单面作图法。A点落于V面A点落于H面11点落于H面垂直柱面上的影子三、点落在有积聚投影的承影面上的影子（1）点落在投影面垂直面上的影子已知A（a,a'），求落在H面垂直柱面P（p,p'）上的影子AP（aP,aP'）。a'ap'p承影面承影面LAAPP承影面12点落于H面垂直柱面上的影子三、点落在有积聚投影的承影面上的影子（1）点落在投影面垂直面上的影子已知A（a,a'），求落在H面垂直柱面P（p,p'）上的影子AP（aP,aP'）。a'al'45°l45°aP'p'p求解步骤：先过a、a'分别作45°方向的光线投影l、l'；因a0应必位于有积聚投影的p上，又在l上，故可由l与p交得aP；由之作联系线，即与l'交得aP'。aP承影面承影面13点落于H面垂直柱面上的影子三、点落在有积聚投影的承影面上的影子（1）点落在投影面垂直面上的影子已知A（a,a'），求落在H面垂直面P（p,p'）上的影子AP（aP,aP'）。a'al'45°l45°aP'p'p求解步骤：先过a、a'分别作45°方向的光线投影l、l'；因aP应必位于有积聚投影的p上，又在l上，故可由l与p交得aP；由之作联系线，即与l'交得aP'。aP14点落于V面平行面上的影子三、点落在有积聚投影的承影面上的影子（2）点落在投影面平行面上的影子已知A（a,a'），求落在V面平行面P（p,p'）上的影子AP（aP,aP'）。a'ap'p承影面承影面LAAPP承影面15l45°点落于V面平行面上的影子三、点落在有积聚投影的承影面上的影子（2）点落在投影面平行面上的影子已知A（a,a'），求落在V面平行面P（p,p'）上的影子AP（aP,aP'）。a'ap'p承影面承影面l'45°aP'aP求解步骤：先过a、a'分别作45°方向的光线投影l、l'；因aP应必位于有积聚投影的p上，又在l上，故可由l与p交得aP；由aP作联系线，即与l'交得aP'。只要给出了点对投影面平行面的距离，就可以在单独一个投影中求作点在该承影面上的落影。四、点在一般位置平面上的落影当承影面为一般位置平面时，其投影均不具有积聚性。利用直线与平面相交求交点的方法来解决。如下图所示，是过A的光线与一般位置平面P的交点qq'l'l122'1'pHa'aaq'aq§2.2直线的落影一、线的影子二、直线在平面上的落影三、直线的落影规律18一、线的影子线的影子是线上一系列点的影子的集合，也是照于该线的光线面与承影面的交线。曲线的影子PLAP影子承影面光线面A19一、线的影子当承影面为平面时，直线落在一个承影面上的影子，一般情况下仍是直线；但当直线平行于光线时，则它的影子蜕化成为一点。当直线在承影面上时，直线的影子与直线本身重合。直线的影子LAP影子承影面AP光平面B1BBPCCP20二、直线在平面上的落影直线的影子求法投影图中，求作直线落于一个承影平面上的影子的投影，只要作出两个端点的影子的投影，则同名投影相连，即为直线的影子的同名投影。L承影面APBAPBP直线影子影子的投影空间情况21二、直线在平面上的落影[例1]求直线AB落于投影面上的影子直线落于投影面上的影子45°45°OXa'b'ba45°bVaV45°aV'bV'AVBV解题步骤：（1）先分别求出两个端点的影子AV(aV,aV')、BV(bV,bV')（2）判断是否处于同一承影面内；（3）若处于同一承影面内，连接它们的同名投影即可。直线影子落于V投影面22[例2]求直线AB落在H面垂直面P上的影子直线的影子p'aa'paPaP'bb'bP分别求出AB两点在承影面上的影子。同名投影相连即可bP'二、直线在平面上的落影23[例3]求直线落在一般位置平面上的影子p'apaP'a'b'baPQHbP'bP二、直线在平面上的落影解题步骤：1.分别求出两个端点在一般位置平面上的影子Ap(ap,ap')、Bp(bp,bp')2.同名投影相连即可24三、直线的落影规律1、直线落影的平行规律2、直线落影的相交规律3、投影面垂直线的落影规律251、直线落影的平行规律（1）直线与承影面平行时，直线的影子必与直线本身平行且等长。PABBPAP光平面直线与承影面平行PP'aa'b'bbpapbp'ap'利用特性求影子26cpdp1、直线落影的平行规律（2）两条平行直线落在一个承影面上的两段影子必互相平行。PABBPAP光平面互相平行它们与承影面的交线互相平行两条平行直线在一个平面上的影子DCCPDP光平面光平面Paa'b'bbpapbp'ap'dcd'c'dp'cp'271、直线落影的平行规律（3）一条直线落在两个平行的承影平面上的两段影子必互相平行。PCBBPAP2CP光平面CQDQDAQAP1AQ2AP1∥AQ2P∥Q一条直线在两个平行平面上的影子虚影DP281、直线落影的平行规律（3）一条直线落在两个平行的承影平面上的两段影子必互相平行。292、直线落影的相交规律（1）直线与承影面相交时，直线的影子将通过该直线与承影面的交点。PABAPBPLALB直线与承影面相交p'pa'b'abbpbp'ap'ap302、直线落影的相交规律（2）两条相交直线落在一个承影面上的两段影子必定相交，且影子的交点，为两直线交点的影子。PDP直线AB、CD交于E点EP既要在APBP上，又要在CPDP上两条相交直线在一个平面上的影子APBPCPEPECDBA即APBP与CPDP交于EP点312、直线落影的相交规律（2）两条相交直线落在一个承影面上的两段影子必定相交，且影子的交点，为两直线交点的影子。PDp两条相交直线在一个平面上的影子ApBpCpKpKCDBApa'b'abkpcp'ap'apcpkp'd'c'cdkk'322、直线落影的相交规律（3）一条直线落在两个相交的承影平面上的两段影子，必相交于这两个承影面的交线上。PA光平面BQ一条直线在两个相交平面上的影子MNBQAPC0折影点332、直线落影的相交规律（3）一条直线落在两个相交的承影平面上的两段影子，必相交于这两个承影面的交线上。PABQ一条直线在两个相交平面上的影子MNBQAPC0折影点C折影点的求解：（1）任取AB上一点（D点），求出其影子DQ；（2）与处于同一承影面内的直线AB两个端点的影子（BQ）连接并延长，与两个承影面的交线得交点即是。DDQ342、直线落影的相交规律（3）一条直线落在两个相交的承影平面上的两段影子，必相交于这两个承影面的交线上。352、直线落影的相交规律（3）一条直线落在两个相交的承影平面上的两段影子，必相交于这两个承影面的交线上。362、直线落影的相交规律（3）一条直线落在两个相交的承影平面上的两段影子，必相交于这两个承影面的交线上。372、直线落影的相交规律bak'k1'p'q'qpap'bp'b'a'kapk1bp[例]求直线AB落于平面上的影子解题步骤：（1）先分别求出两个端点的影子Ap(ap,ap')、Bq(bq,bq')位于两平面上（2）求折影点K1(位于两面的交线上)根据投影特性直接找出k1,由此点引45°线，返回到AB上得点K(k,k'),K的落影正好落在两面的交线上。（3）同一承影面内的影子相连即可（APK1、BPK1）。38HVOXp3、投影面垂直线的落影规律(1)某投影面垂直线落于任何承影面上的影子在该投影面上的投影必呈一直线，且其方向与光线在该投影面上投影方向一致(45°)。bdcABDCLA0C0D0B0aa0d0c0b0PQRb'd'c'a'c0'd0'b0'q'r'b'd'c'a'c0'd0'b0'q'r'qrlbdcaa0d0c0b0（b）投影图（a）空间情况39HVOXp3、投影面垂直线的落影规律(2)某投影面垂直线落在另一投影面（或其平行面）上的影子，不仅与原直线的同面投影平行，且距离等于该直线到承影面的距离。bdcABDCLA0C0D0B0aa0d0c0b0PQRb'd'c'a'c0'd0'b0'q'r'b'd'c'a'c0'd0'b0'q'r'qrlbdcaa0d0c0b0（b）投影图（a）空间情况ee45°403、投影面垂直线的落影规律左图所示，BC⊥W则b'c'∥bp'cp'且间距d等于BC到P面之距。右图不成立。(2)某投影面垂直线落在另一投影面（或其平行面）上的影子，不仅与原直线的同面投影平行，且距离等于该直线到承影面的距离。413、投影面垂直线的落影规律b'd'c'a'c0'd0'b0'q'r'qrlbdcaa0d0c0b0（b）投影图ee45°b”d”c”a”(3)某投影面垂直线落于任何物体表面上的影子在另外两个投影面上的投影，总是成对称形状。b0”d0”c0”423、投影面垂直线的落影规律(3)某投影面垂直线落于任何物体表面上的影子在另外两个投影面上的投影，总是成对称形状。铅垂线在任何面上的落影在V、W面上的投影彼此对称433、投影面垂直线的落影规律(3)某投影面垂直线落于任何物体表面上的影子在另一两个投影面上的投影，总是成对称形状。铅垂线在组合侧垂面上的落影铅垂线在组合铅垂面上的落影如果承影面是垂直面时，先在承影面所垂直的投影面上作影子，然后作其它投影。§2.3直线平面形的阴影一、平面多边形的落影二、平面图形的阴面和阳面的判别三、平面图形的落影规律45平面多边形的落影轮廓线—影线，就是多边形各边线落影的集合。投影图中一般将平面的阴影涂上淡色、或作平行的等距离细线，或加均匀密点等来表示。平面的影子CHAHBHBACLH影线一、平面多边形的落