《通信原理》习题参考答案

1《通信原理》习题参考答案第三章3-2.设随机过程ξ(t)可表示成ξ(t)＝2cos(2πt+θ)式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：∵ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ∴E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2)＝(1/2)×2＋0＝1Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]＝E[2cosθ×2cosθ]＝E[4cos2θ]＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2)＝(1/2)×4＝2题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。23-3.设Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求(1)E[Z(t)]、E[Z2(t)](2)Z(t)的一维分布密度函数f(z);(3)B(t1,t2)与R(t1,t2)。解：(1)∵E[X1]＝E[X2]＝0，且X1和X2彼此独立∴E[Z(t)]＝E[X1cosω0t－X2sinω0t]＝E[X1cosω0t]－E[X2sinω0t]＝E[X1]×cosω0t－E[X2]×sinω0t＝0E[Z2(t)]＝E[(X1cosω0t－X2sinω0t)2]＝E[X12cos2ω0t－2X1X2cosω0tsinω0t＋X22sin2ω0t]＝E[X12cos2ω0t]－E[2X1X2cosω0tsinω0t]＋E[X22sin2ω0t]＝cos2ω0tE[X12]－2cosω0tsinω0tE[X1]E[X2]＋sin2ω0tE[X22]＝cos2ω0tE[X12]＋sin2ω0tE[X22]又∵E[X12]＝D[X1]＋E2[X1]＝D[X1]＝σ2E[X22]＝D[X2]＋E2[X2]＝D[X2]＝σ2∴E[Z2(t)]＝σ2cos2ω0t＋σ2sin2ω0t＝σ2(cos2ω0t＋sin2ω0t)＝σ2(2)由于Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是由两个正态随机变量X1和X2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的其中：E[Z(t)]＝0D[Z(t)]＝E[Z2(t)]－E2[Z(t)]＝E[Z2(t)]＝σ2]2exp[21)(22)(axZf3所以得一维分布密度函数f(Z)为：(3)B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E[Z(t1)]E[Z(t2)]＝R(t1,t2)＝E[Z(t1)Z(t2)]＝E[(X1cosω0t1－X2sinω0t1)(X1cosω0t2－X2sinω0t2)]＝E[X12cosω0t1cosω0t2－X1X2cosω0t1sinω0t2－X1X2sinω0t1cosω0t2＋X22sinω0t1sinω0t2]＝cosω0t1cosω0t2E[X12]－cosω0t1sinω0t2E[X1X2]－sinω0t1cosω0t2E[X1X2]＋sinω0t1sinω0t2E[X22]＝cosω0t1cosω0t2E[X12]＋sinω0t1sinω0t2E[X22]＝σ2(cosω0t1cosω0t2＋sinω0t1sinω0t2)＝σ2cosω0(t1－t2)＝σ2cosω0τ其中τ＝∣t1－t2∣3-5.若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm(τ)为θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。(1)证明z(t)是宽平稳的；(2)绘出自相关函数Rz(τ)的波形；(3)求功率谱密度Pz(ω)及功率S。]2exp[21)(22xZf011)(Rm其它,10,01,4解：(1)∵E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t＋θ)]（m(t)和θ彼此独立）＝E[m(t)]E[cos(ω0t＋θ)]=0RZ(τ)＝RZ(t,t+τ)＝E[z(t)z(t+τ)]＝E{m(t)cos(ω0t＋θ)m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}＝E[m(t)m(t+τ)]E{cos(ω0t＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t无关，相关函数RZ(τ)只与时间τ有关∴z(t)是宽平稳的随机过程(2)由RZ(τ)可知：RZ(τ)0cos)(21mR是由)(21mR和cosω0τ在时域上相乘的结果，而)(21mR和cosω0τ在时域上的图形分别如下：所以RZ(τ)的波形如下：Rm(τ)cosω0τ21τ-10+1τ)(21mR的波形cosω0τ的波形dttmE21)cos()]([200}cos2121]2)2(cos[{21)(200200ddtRm0cos)(21mR5(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和cos(ω0t＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有：Pz(ω)＝Pm(ω)*Pc(ω)，其中Pm(ω)是m(t)的频谱Pc(ω)是cos(ω0t＋θ)的频谱又因为Pm(ω)＝)42(212sa＝)2(212saPc(ω)＝]()([21)00δδ∴Pz(ω)＝Pm(ω)*Pc(ω)＝)2(212sa*]()([21)00δδ＝)2()2(410202ssaaS＝RZ(0)＝0cos)0(21mR＝21RZ(τ)21-1+1τ－21RZ(τ)的波形63-8.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。(1)求滤波器输出噪声的自相关函数；(2)写出输出噪声的一维概率密度函数。解：(1)先求出频域上的输出噪声功率：HPn2002,0,20n其它BBcc再求时域上的自相关函数，实际上就是频域P0的傅里叶逆变换：dePRj0021dePdePjBBjBBcccc002121dendenjBBjBBcccc22122100][40dedenjBBjBBcccc][40dedenjBBjBBcccccaBBSncos0∣H(ω)∣2πB2πB－ωc0ωc图P2-17(2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，又∵00)(HtEaio其中to是表示输出噪声的时域表达式，i是表示输入噪声的均值同时BnBSntERao002020cos0)(0∴输出噪声的一维概率密度函数为：BnxBnxf0202exp213-11.设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：(1)自相关函数bbTTR,0,/Tτ1b)((2)功率谱密度Pξ(ω)＝Tb[Sa(πfTb)]2。解：(1)ttEttRR,)(，实际上就是求在时间t和t+τ时，tt的乘积的均值。当bT时，t和t的取值互相独立，如图(a)所示ATbTbTbTbtt+τt图(a)8于是有：ttER)(tEtE2112112112110当bT时，t和t的取值有两种情况：第一种情况：t和t都在同一个Tb范围内，也就是说t和t的取值相同，这种情况的概率是bbTT如图(b)所示设此时的自相关函数为)(1R,则有ttER)(1bbTT21112111bbTT第二种情况：t和t不在同一个Tb范围内，也就是说t和t的取值分别是两个相邻的码元，这时t和t是相互独立的，如图(c)所示ATbTbTbTbtt+τt图(b)ATbTbTbTbtt+τt图(c)9设此时的自相关函数为)(2R,则有ttER)(2tEtE2112112112110∴当bT时：bbTTRRR21)(综上所述，有bbTTR,0,/Tτ1b)((2)RP)(由R的取值可以画出它的波形，如图(d)所示：3-13.若ξ(t)是一个平稳随机过程，自相关函数为Rξ(τ)，试求它通过如图P2-5系统后的自相关函数及功率谱密度。Rξ(τ)1－TbTbτ图(d)∴2)(2babTSTP222babfTSTbabfTST2ξ(t)输出图P2-5相加延时T10解：设输入信号t的功率谱密度为P；输出信号为to，它的自相关函数为oR，它的功率谱密度为oP，于是有：TtttoTtttoPRjePTR（傅氏变换的时延特性）jePTR∴ttERoooTttTttETttttETtTttTtTttEttETtTtETTtTtERTRTRRTRTRR2ooRPTjTjePePP2TjTjeeP2TPcos22TPcos12