宏观经济学第三讲-无限期界与世代交叠模型

第三讲无限期界与世代交叠模型1本章概要•与索洛模型相似：•本章的这两个模型依旧把劳动与知识当作外生的。•与索洛模型不同：•模型从竞争性市场的最大化家庭与厂商的相互作用中引出资本存量的演化，因而，储蓄不再是外生的。•在这两个模型中，经济总量的动态学由微观层次的决策决定。2永久生存且数目固定的家庭供给劳动、持有资本并进行消费和储蓄，又称无限期界模型。3一、假设1、厂商•存在大量的厂商，生产函数：•Y=F(K,AL)•A以g的速率外生地增长•家庭拥有企业，因此，企业产生的利润归于家庭。4dttCueUtHtLt)()(0))((52、家庭存在大量相同的家庭（H），家庭的规模以n的速率增长。家庭拥有K（0）/H的初始资本。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以便最大化其终身效用。家庭的效用函数为：式中，C(t)表示t时刻家庭每个成员的消费。u()是瞬时效用函数。L(t)是经济中的总人口，因此，L/H等于每个家庭的人口。u(C(t))L(t)/H是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是时间偏好率，表示获得效用越晚价值越低。ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来的消费估价越小。0)1(,0,1)())((1gntCtCu)()()()(cucuccucdccud6瞬时效用函数采取如下形式：由于该函数的消费替代弹性为1/θ，因此被称为不变跨期替代弹性效用函数。边际效用弹性：消费每增加1％，边际效用下降的百分比。θ越高，随着消费的增加，边际效用就下降的越快，家庭就越不愿意消费的波动。二、家庭与厂商的行为))(()(tkftr))(()())(()()(tkftktkftAtW))(()())(()(tkftktkftw71、厂商竞争性厂商获得零经济利润。在竞争市场，且假设没有折旧，因此资本报酬率等于其边际产品：劳动的真实工资等于其边际产品：每单位有效劳动的真实工资：rtFVePV)()(0tRdrFVeFVePVtdtHtLtWeHKdtHtLtCettRttR0)(0)()()()0()()(82、家庭的预算约束家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终身劳动收入的现值之和。连续计息的终值的贴现（贴现率为常数）：当贴现率随时间变化时的贴现值：家庭的预算约束可以表示为：1011111tceAtCgtdttceBUtt11093、家庭最优化家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效用(通过构造拉格朗日函数计算)。瞬时效用函数：家庭的效用函数：家庭预算约束：HLAB001gn1dtetwekdtetcetgntRtgnttR0)(0)()(0)(gtrtctc)()()()()()(trtCtC103、家庭最优化家庭在预算约束限制下，选择消费的路径来最大化其终身效用(通过构造拉格朗日函数计算)。每单位有效劳动消费的最优增长率：每个工人的消费C(t)等于A(t)c(t)，其增长率为：欧拉方程该式意味着，如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。三、经济的动态学gtrtctc)()()()()()())(()(tkgntctkftk0c11消费的动态学资本的动态学kc0kk*c与k的动态学：系统是鞍点路径稳定k*小于资本的黄金律水平：由ρ-n-(1-θ)g0得到：ρ+θgn+g稳定臂非稳定臂稳态kGc*四、c的初始位置0c1212kcC0kk*ABEDFA，B，C，D，F五个初始点，经济运动轨迹相同吗？五、贴现率下降gkfcgkfcc*)(0/])([/0c13ρ表示家庭对现期与未来消费之间的偏好。ρ下降意味着k*上升。kcEE’0kρ下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。c在冲击时刻发生向下跳跃，然后与k一起逐渐上升到其初始水平之上。与索洛模型不同的是，在该模型中，储蓄在调整过程中将发生变化。k*六、调整速度kgnckfkcgkfc)()(/)(*)(*)(*)(*)(kkcckkkccckkckkccc**)(0****ckfkccccckkcckk14在平衡增长路径（c*,k*）附近进行线性近似：模型的动态方程：𝜕𝑘𝜕𝑐𝑘=𝑘∗𝑐=𝑐∗=−1𝜕𝑘𝜕𝑘𝑘=𝑘∗𝑐=𝑐∗=𝛽1521,214(*)*/22(1)rfkcng系数矩阵的特征根为根号内的表达式为正，因此得到两个不等实根，系统为鞍点路径稳定。其中的负根即为变量c、k向稳态收敛的速率。(*)*01ccfkcckAkkck****ccccckccckckkkkkkkckckck练习题16代蒙德模型与拉姆齐－凯斯－库普曼斯模型的核心差异是存在人口的新老交替，而非一个数量固定的永久性生存的家庭。17一、假设•由于存在新老交替，因此，假设时间是间断的而非连续的。•该模型假设每个人只活两个时期。–Lt表示t时期出生的个人。人口增长率为n，因此，Lt=Lt-1（1＋n）。–由于人均生活两个时期，因此，在t时期，存在Lt个处于他们生命第一时期的个人，并且存在Lt-1个处于他们生命第二时期的个人。•每个人在年轻的时候供给1单位的劳动，并且将劳动收入在第一期的消费和储蓄之间进行分配；在第二时期，个人只是消费其储蓄和利息。181,0111111211tttCCU19在t时期出生的一个人的效用取决于两时期的消费。效用函数为不变相对风险厌恶效用函数：该假设确保第二个时期的消费权数为正。在t时期，由老年人拥有的资本与由年轻人供给的劳动结合起来进行生产。老年人消费其资本收入与现存财富。年轻人将劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。他们把储蓄带入下一个时期，因此在t+1时期内的资本存量Kt+1等于t时期的年轻人的数量Lt乘以他们的储蓄wtAt-C1t。该资本量与下一代年轻人的劳动供给相结合，生产持续进行。二、家庭行为))(1(1112tttttCAwrCtttttAwCrC121111ttttttttwACrCtsCCUMax12111121111..1111.20在t时期出生的一个个人的第二时期的消费为：变化得到个人的预算约束：终生消费的现值等于其初始财富（等于零）加上终生劳动收入的现值。个人的最大化问题：在预算约束条件下分配两个时期的消费和储蓄以使个人的效用达到最大化。个人效用最大化：边际收益等于边际成本111111211tttCCUtttCCU11121211tttCCU21CrCCCttt)1(111121/1111211tttrCC个人效用函数：各时期消费变化对效用的影响（即边际效用）：在第一时期减少消费△C，则第二时期消费增加（1+rt+1）△C。最优化的个人会调整消费变动使增加的效用等于减少的效用。最优的个人消费变化：个人效用最大化：拉格朗日函数)]11([1111121111211tttttttCrCwACCL/)1(/1/)1()1()1()1()(rrrs22构造拉格朗日函数，并根据一阶条件可以得到最优化条件。储蓄率为当且仅当（1＋r)(1-θ)/θ关于r是递增的，储蓄率关于r是递增的。当θ＞1时，s关于r是递减的；当θ＜1时，s关于r是递增的；θ＝1时，s与r不相关。r的上升同时具有收入效应和替代效应，当θ较小，替代效应占主导，s上升；当θ较大，收入效应占主导，s下降。1/211111tttCrC三、经济的动态学tttttwALrsK)(11tttwrsgnk)()1)(1(111)()())(()1)(1(111tttttkfkkfkfsgnk23t+1时期的资本存量等于t时刻年轻人的储蓄量两边同时除以At+1Lt+1代换rt+1和wt得到单位有效劳动资本的动态方程（差分方程）当kt+1=kt=k*时，k达到均衡值（稳态）。对数效用与柯布－道格拉斯生产1)(ALKYkkfy)(()()(1)=1wfkkfkk当时24ttkgnk)1(21)1)(1(11柯布－道格拉斯函数紧凑形式ktkt+1kt+1=ktk*k0k1k1k2k2k*是全局稳定的：给定k的任何初始值，都会收敛于稳态值。在稳态，代蒙德模型的性质与索洛和拉姆齐模型关于平衡增长路径的性质相同：储蓄率不变，人均产出增长率为g，资本－产出比率不变。kt+1=f(kt)稳态：k*=f(k*)k*贴现率下降的效应25ttkgnk)1(21)1)(1(11k的动态变化方程：政府购买的变化26t1G-)1(21)1)(1(1ttkgnk引入政府购买后，k的动态变化方程：收敛速度ttkgnk)1(21)1)(1(11*)1(21)1)(1(1*kgnk11*1*()(*)*(*)tttkkttttdkkkkkdkkkkk271102100*(*)*(*)*(*)(*)*(*)ttttkkkkkkkkkkkkkkkkkkk的动态方程为：达到均衡时：在平衡路径附近线性化：由于α介于0和1之间，因此，每单位有效工人的资本平滑地收敛于稳态资本。差分方程的求解：一般情形2811()()1(())()(1)(1)()tttttttfkkfkksfkfkngfk多种收敛情况（多聚点）29k(t+1)k(t)k1*k2*29k(t+1)k(t)k1*k2*29k(t+1)k(t)k3*世代交叠模型的应用拓展•三期世代交叠模型30世代交叠模型的应用拓展•将延迟退休引入世代交叠模型31世代交叠模型的应用拓展•在世代交叠模型考虑人力资本积累和生育率问题32世代交叠模型的应用拓展•在世代交叠模型考虑人口老龄化问题•考虑老中青三期世代交叠模型•设定从中年跨越到老年，有一定的存活概率。33