变更主元法

变更主元法在解答与函数、方程、不等式有关的数学题目时，常常把数学式子中的主元与常量换位（即将主元看作常量），主元与参数换位，参数与常量换位，产生一种认识上的转化,但并不换元.借助这种思维方式解题的方法叫做变更主元法.例1.若不等式mxx2＞34mx对于满足1≤m≤4的所有实数m恒成立，求实数x的取值范围.【巧解】〔变更主元法〕不等式mxx2＞34mx34)1(2xxmx＞0设34)1()(2xxmxmf.视参数m为自变量，主元x为参数，)(mf关于m的一次函数.1°当x=1时，)(mf恒等于0，即)(mf＞0不成立即mxx2＞34mx不成立.2°当x≠1时，（x-1）2xm-4x+3＞00)4(0)1(ff2121210102322xxxxxxxxx或或或综合1°、2°得：x＜-1或x＞2例2.求函数1122xxxxy的值域【巧解】〔变更主元法〕易知函数的定义域为R将原函数去分母整理，得：0)1()1()1(2yxyxy……①视y为某常数.（1）当1y时，0x（2）当y≠1时，因x∈R，即方程①有实根故22)1(4)1(yy≥0即31032yy≥0得331y综合（1）、（2）得331y例3[1997年全国数学高考理科题]若0))((4)(2zyyxxz，求证：zyx,,成等差数列【巧证】〔变更主元法〕将已知式视为y（y为主元、zx、为常量）的二次方程，有：zyyxzxyzxyzxyzxy20)(20)()(44222即按定义，zyx、、成等差数列例4.设a,b∈R，求证：直线（2a+b）x+(a-b)y+(a-b)=0总是经过一个定点：【巧证】〔变更主元法〕将原方程变形为：0)1()12byxayx（……（1）视参数a,b为主变数∵a,b∈R，即a,b为任取的两个实数，要（1）式成立，必有01012yxyx解得32yx就是说，不论a,b取什么实数，x=-2，y=3，适合上述方程，即系列直线总是经过定点（-2，3）巧练1.函数xxy32的值域是.巧练2.对满足︱log2p︱＜2的一切实数p，求使不等式12pxx＞px3都成立的x的取值范围.巧练3.求证：当动点P（a,b）在定直线L1：yx23=6上移动时，动直线L：12aybx总是经过一个定点，并求此定点的坐标.