丁君版工程电磁场与电磁波答案 第八章 电磁波的辐射

第八章电磁波的辐射8.1主要内容与重点本章主要内容：电流元(基本电振子)和磁流元(基本磁振子)的辐射，天线基本参数、对称阵子天线以及天线阵。本章重点：电流元和磁流元远区辐射场及其特点；天线基本参数的定义及计算；对称阵子远区辐射场及期特点，方向图的画法，二元阵乃至多元均匀线阵远区辐射场的推导，方向图的画法以及利用镜像法分析接地导电平面附近的单元天线或天线阵。８.２主要公式（基本公式）８.２.1滞后位在时变电磁场中，常采用两个辅助位函数：动态标量位ϕ和动态矢量位，它们统称为滞后位。电场强度AE和ϕ、A的关系为ϕ−∇=∂∂+tAE(8.1)或t∂∂−−∇=AEϕ(8.2)磁场强度H和A的关系为AH×∇=μ1(8.3)当存在电荷源ρ和电流源δ时，ϕ、A所满足的微分方程是⎪⎭⎪⎬⎫−=+∇−=+∇JAkAkμερϕϕ2222(8.4)它们的解分别为dVervvrtj∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ωρπεϕ41(8.5)dVerJvvrtj∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ωπμ4A(8.6)式中，ω为场源的角频率，r为场点到源点的距离，为电磁波的速度。v在求解辐射问题时，一般都是根据已知的ρ或J，由(8.4)，(8.5)求出ϕ和A，再由(8.2)或(8.3)求解辐射点磁场。８.２.２电偶极子的辐射（１）偶极子天线的辐射场为1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−0sin14cos12222ϕθθπωεθπωεErrjkkreIljErjkreIljEjkrjkrr(8.6)⎪⎩⎪⎨⎧==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−0sin14θϕθπHHrjkrIleHrjkr(8.7)当时，称为近区场，各场分量为1krjkreIlrH−≈θπϕsin412(8.8)jkrreIlrjE−−≈θπωεcos213(8.9)jkreIlrjE−−≈θπωεθsin413(8.10)可见这个区域内的场，类似于静态场的解。当时，称为远区场。这个区域的场是辐射场，这时各场分量为1krjkrerIljH−=θλϕsin2(8.11)jkrekrIljE−=θωελθsin2(8.12)（２）偶极子的方向性函数()θθsin=F(8.13)（３）偶极子的平均坡印廷矢量θλη220sin221⎟⎠⎞⎜⎝⎛=rIlaSrav(8.14)（４）偶极子的平均辐射功率2222020040sinsin22⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⋅=∫∫∫λπϕθθθληππIlddRRIlSdSPsavr(8.15)（５）偶极子的辐射电阻222802⎟⎠⎞⎜⎝⎛==λπlIPRrr(8.16)８.２.3磁偶极子的辐射和对偶原理磁偶极子辐射的分析讨论，可利用电与磁的对偶性，直接由电偶极子辐射的结果而得到。所谓电与磁的对称性，是指在引入假想的磁荷mρ与磁流的概念后，磁场各物理量mI2就与电场各物理量一一对应。根据电源量()I,ρ和磁源量()mmI,ρ的对偶关系，就可以经过互换，由一电源量的公式求出磁源量的公式，或者相反。由互换规则，得到磁偶极子在远区的辐射场为jkrmerlIjE−−=θλϕsin2(8.17)jkrmerlIjH−=θηλθsin2(8.18)ϕE式中的负号表示电场的指向是沿ϕ减小的方向，符合能量辐射的要求。由上式可看出，磁偶极子的方向图与电偶极子的方向图相同，差别仅在与电场与磁场的互换。磁流元与小电流环存在关系lImISjlIm0ωμ=磁偶极子的平均坡印廷矢量、辐射功率和辐射电阻分别为θλπ224223sin60rSIaSmrav=(8.19)4224160λπSIPmr=(8.20)424320λπSRr=(8.21)８.２.4天线的基本参数（１）方向性系数：在最大辐射方向的同一接收点及电场强度相同的条件下，无方向性天线（理想点源天线）的辐射功率和有方向性天线的辐射功率之比，即()()0max,,0EEPPD==ϕθϕθ(8.22)式中()ϕθ,0P为各向均匀辐射时的平均辐射功率()22220604,⎟⎠⎞⎜⎝⎛=×=λππϕθlIrSPav(8.23)()ϕθ,P为基本阵子的辐射功率()22240,⎟⎠⎞⎜⎝⎛=λπϕθlIP(8.24)考虑其他方向，则(8.25)θ2sin5.1=D可见基本阵子的方向性比理想点源天线的方向性增强倍。5.1(8.26)34（２）半功率波瓣宽度：即辐射等于最大方向辐射功率的一半时的两个方向之间的夹角，也就是电场强度等于最大值的707.0倍时的两个方向之间的夹角707.0sin5.0=θ(8.27)45.0πθ±=(8.28)故半功率波瓣宽度为2250πθ=.。(8.29)（３）天线效率：定义为drrdrrinrARRRPPPPP+=+==η(8.30)其中rmrRIP221=，dmdRIP221=分别为天线的平均辐射功率和损耗功率，而为损耗电阻，为天线输入电流的振幅值。dRmI（４）增益系数：定义式为AinrrinRPDPPrPSrPSSSGinηππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==2max2max,0max44相同相同(8.31)８.２.5对称阵子天线和半波天线（１）对称阵子天线的远区辐射场为()θθθsincos)coscos(60khkherIjEjkRm−=−(8.32)0ηθϕEH=(8.33)（２）对称阵子天线的方向性函数未归一化形式：()θθθsin)cos()coscos(khkhF−=(8.34)归一化形式：()θθθsin)cos()coscos()cos(11khkhkhf−−=(8.35)特别地，对于半波阵子，有()θθπθθsincos2cos)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛==Ff(8.36)８.２.5天线阵（１）二元阵：2rr2rod1I2I假设二元阵的单元天线形式和取向都相同，如图所示。二元阵的远区辐射电场强度的复振幅为：()()()()111111,,1,reFFEremeFEEjkramjkrjm−−=+=ϕθϕθϕθψθ(8.37)其中()ϕθ,1F、()ϕθ,aF分别为二元阵的元因子和阵因子，而二元阵的方向性函数()()()ϕθϕθϕθ,,,1aFFF=；m为两单元天线上激励电流振幅的比值，，ξjemII12=ϕθξψcossinkd+=。（２）均匀直线阵：（a）N元均匀直线阵远区辐射电场强度为[]ψψψθθ)1(211−++++=NjjjeeeEE(8.38)其中()1111,reFEEjkrm−=ϕθθ。（b）均匀直线阵的归一化阵因子()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2sin2sin1ψψψNNF(8.39)８.3例题例１已知电流元的电磁场分量为θπϕsin14⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−rjkrrIdlejHjkrθπωεcos122⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−rjkreIdljEjkrrθπωεθsin1422⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−−=−rrjkkreIdljEjkr１）试写出远区、近区分量表达式；２）计算辐射电阻值；３）绘出辐射方向图。解：１）对远区场，，其场分量为1krjkrjkrekrIdljEerIdljH−−==θωελθλθϕsin2sin2对近区场，，其场分量为1krjkreIdlrjH−≈θπϕsin4125jkrreIdlrjE−−≈θπωεcos213jkreIdlrjE−−≈θπωεθsin413２）元天线的辐射电阻2IPRr=，而222220280sin2sin2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⋅=∫∫λπθθπθληπdlIdrrIdldPsSS所以Ω⎟⎠⎞⎜⎝⎛==22280λπdlIPRr４）辐射方向图如图所示z例２已知在电流元最大辐射方向上远区处电场强度振幅为km10mVmE11=。求：1）最大辐射方向上处电场强度振幅的值；2）偏离最大辐射方向的方向上处的磁场强度振幅值。km202E60km203H解：1）因电流元在最大辐射方向上远区辐射电场为jkReRIljE−==ληθθ2090故mVmErrEE5.021112122=×===2）因为mVmEE25.0215.060cos23=×==，所以mAEHμη66.037725.033===ϕϕＥｘｙθＥｙ6例3电偶极子长，电流振幅m10A1，频率为MHz1，求：1）在垂直于偶极子轴方向上m10及km100处的E、S、avS；2）该偶极子的辐射率ravP。解：依题意，Hzf610=,3001010368mfc=×==λml10=，AI10=，，故90=θ1）当mr10=时，121.01030028.62=×==rkrλπ，为近区场。在近区，辐射场与感应场相比很小，可以忽略。∴0=rE()∵90=θtrlIEωωπεθsin90sin4300=()t63612102sin1010210854.8410××××××=−πππ()mVt6102sin3.14×=πttrlIHωπωθπϕcos90sin10410cossin4220×==()mAt63102cos1095.7××=−π()()266102sin102cos114.0mWattaHEHESrr××==×=ππϕθ010==∫dtSTSTav以上说明：感应场不辐射能量。当时，mkmr310100==120941030025=×=πkr，为远区。在远区，感应场可略去，而辐射场为jkrerlIjE−=θηλθsin202094590sin12010300210jej−×××=π20945102jej−−×=πmAejEHj2094610167.0−−×==ηθϕ7()220942111005.1mWaeaHEHESrtjr−−×==×=ωϕθ()∗×=HESavRe2121110525.0mWar−×=2）WlIPrav44.0402202≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛=λπ例4为了在垂直于赫兹偶极子轴线的方向上，距离偶极子处得到电场强度的有效值大于km100mVm100，赫兹偶极子必须至少辐射多大的功率？解：θωελθsin2⋅=−jkrekrIdljE当时，电场强度为最大，其值为90=θωεηωελIdlkrIdlE==290所以ηλrEIdl2=代入，和mr510=mVE4102−×≥，得到ηλ45102102−×××≥Idl由辐射功率23⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ληπIdlP有2451021023⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×××≥−ηηπP即()WP22.2≥例５求波源频率，线长MHzf1=ml1=的导线段的辐射电阻：１）设导线是长直的：２）设导线弯成环形形状。8解：mfv30010103680=×==λ而导线的线长为远远小于波长，故可视为偶极子天线。在长直导线的情况下作为电偶极子；环形导线可视为磁偶极子。m1在电偶极子情况下，辐射电阻为()Ω×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−322108.880λπdlRr在环形导线情况下，按磁偶极子的辐射电阻公式204206vSRrπωμ=其中smv8103×=，6102×=πω设圆环半径为，由a12=aπ，得π21=a，则ππ412==aS故得()()()()Ω×=××=××××××=−−−8723824671044.21081210346102104πππππrR由此可见，环形导线的辐射电阻远远小于长直导线的辐射电阻，也就是说环形导线天线比长直导线天线的辐射能力弱的多。例６设电偶极子长100λ=l（0λ为自由空间波长），求该天线的辐射电阻，如将该电偶极子放入9=rε的电介质内，此时该天线的辐射电阻为多少？解：232⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ληπlRr在自由空间时，Ω=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=9.710112032322200ππληπlRr在电介质中，00311ηηεεμη===r30λελ===rfcfv910331000==λλλlΩ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅=∴7.233103313220'rrRRηπ例７如图所示，两个完全相同的电偶极子互相垂直地置于自由空间，两电偶极子上的电流具有相同的振幅，相位差为3π（即301πjeII=，），如已知远区002jeII=x轴上点的坡印廷矢量大小为1m211mWmSav=，求xy平面上点处的平均坡印廷矢量的大小。2mavS2ｙｍ２解：在点