三角函数的图像及性质复习讲义

1《三角函数的图像与性质》复习讲义【考纲说明】1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性；2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、周期性、图像与x轴交点等）；3.结合具体实例，了解)sin(xAy的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质2单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴2、函数BxAy)sin(），（其中00A的性质振幅：；最大值是AB，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴所在直线的方程是由方程)(2Zkkx解得；凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设t=ωx+，由t取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．由y＝sinx的图象利用图象变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象。注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴方向的伸缩量的区别。三、三角函数中解题常用方法1、由y＝sinx的图象变换出y＝Asin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换)，最后振幅变换（纵向伸缩变换）；途径二：先周期变换(横向伸缩变换)，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。2、由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：（图像或性质）确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，通常先通过函数的最值确定A，再根据周期确定，最后代入某个中心点坐标来3完成的确定。3、由xysin变换出xysin、xysin、)sin(xy的图像，并注意变换后周期的变化。4、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，利用周期公式。另外还有图像法和周期函数的定义法。【典例剖析】10sincos12【例】当（，）时，求证：【例3】求下列函数的定义域：4【例4】求下列函数的值域：【例5】判断下列函数的奇偶性：(1)()sin(cos);fxx1sin(2)()1sinxfxx【例6】求下列函数的最小正周期：5【例7】求下列各函数的最大值、最小值，并求出使函数取得最大值、最小值时的x的集合．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，可转化为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k求解，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例8】求下列函数的单调区间).33tan(2)4();24cos(41)3(;2)216sin(3)2(;1)43sin(2)1(xyxyxyxy6【例9】函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15，求：(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．【例10】设y=Asin(ωx+)(A＞0，ω＞0，||＜π)图像上最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间711)sin23yx【例】要得到函数y=sin(2x-的图像，只要将函数图像（）412)524【例】把函数y=sin(2x+图像上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的倍，则所得图像的解析式为（）【例13】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是（）A．1B．2C．3D．4【例14】已知函数()2sin()fxx,其中常数0;若()yfx在2[,]43上单调递增,求的取值范围。【例15】已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（1）求)(xf的最大值和最小值；8（2）2)(mxf在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．【例16】已知向量(sin,1)mx,(3cos,cos2)(0)2AnAxxA，函数()fxmn的最大值为6.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数()yfx的图象向左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx的图象，求()gx在5[0,]24上的值域．【例17】（2012湖北）已知向量a=)sinsin(cosxxx，，b=)cos32sincos(xxx，，设函数f（x）=a·b+)(Rx的图像关于直线x=π对称，其中，为常数，且）（1,21(1)求函数f（x）的最小正周期；(2)若y=f（x）的图像经过点）（0,4求函数f（x）在区间530，上的取值范围．【例18】（2012安徽卷）设函数22()cos(2)sin24fxxx（I）求函数()fx的最小正周期；9（II）设函数()gx对任意xR，有()()2gxgx，且当[0,]2x时，1()()2gxfx；求函数()gx在[,0]上的解析式。【三角函数知识强化练习题】1.错误!未指定书签。(2013全国）已知函数=cossin2fxxx,下列结论中错误的是（）A.yfx的图像关于,0中心对称B.yfx的图像关于直线2x对称C.fx的最大值为32D.fx既奇函数,又是周期函数2.(2009山东)将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().A.cos2yxB.22cosyxC.)42sin(1xyD.22sinyx3.（2009安徽卷理）已知函数()3sincos(0)fxxx，()yfx的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则()fx的单调递增区间是（）（）A.5[,],1212kkkZB.511[,],1212kkkZC.[,],36kkkZD.2[,],63kkkZ4.（2009江西卷文）函数()(13tan)cosfxxx的最小正周期为（）A．2B．32C．D．25.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4sin()(wRxwxxf的最小正周期为，将)(xfy的图像向左平移||个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A2B83C4D86.（2009四川卷文）已知函数))(2sin()(Rxxxf，下面结论错误．．的是（）A.函数)(xf的最小正周期为2B.函数)(xf在区间［0，2］上是增函数C.函数)(xf的图象关于直线x＝0对称D.函数)(xf是奇函数7．（2009福建卷理）函数()sincosfxxx最小值是（）A．-1B.12C.12D.1108．（2009辽宁卷理）已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（）A.23B.23C.－12D.1221世纪教育网9.将函数y=sinx的图象向左平移(0＜2)单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于（）A．6B．56C.76D.11621世纪教育网10．（2009天津）已知函数()sin()(,0)4fxxxR的最小正周期为，为了得到函数()cosgxx的图象，只要将()yfx的图象（）A.向左平移8个单位长度B.向右平移8个单位长度21世纪教育网C.向左平移4个单位长度D.向右平移4个单位长度11.（2012湖南卷）函数f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为（）A．[-2,2]B.[-3,3]C.[-1,1]D.[-32,32]12.（2012浙江理）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）13.（2009江苏卷）函数sin()yAx（,,A为常数，0,0A）在闭区11间[,0]上的图象如图，则=.14．（2009上海卷）函数22cossin2yxx的最小值是_______.15.（2012四川）函数2()6cos3cos3(0)2xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数()fx的值域；（Ⅱ）若083()5fx，且0102(,)33x，求0(1)fx的值。16.已知23,23a,)4cos,4(sinxxb,baxf)(｡(1)求)(xf的单调递减区间｡(2)若函数)(xgy与)(xfy关于直线1x对称,求当]34,0[x时,)(xgy的最大值｡17.（2013辽宁）设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx(I)若.abx求的值；(II)设函数,.fxabfx求的最大值18.（2013湖南）已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx.12(I)若是第一象限角,且33()5f.求()g的值;(II)求使()()fxgx成立的x的取值集合..19．设函数).2sin3,(cos),1,cos2(,)(mxxxxfbaba其中向量（1）求函数],0[)(的最小正周期和在xf上的单调递增区间；（2）当mxfx求实数恒成立时,4)(4,]6,0[的取值范围。20.（2000全国文）已知函数y＝3sinx＋cosx，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?（3）求f(x)图象的对称轴，对称中心。13