(公开课)同角三角函数的基本关系

一、创设情境：问题2.如图1，三角函数线是：正弦线；余弦线；正切线.yxxy)0(xMPOMATcos；tansin；问题3.三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题1.如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，那么),(yxPPOxyMAT221MPOM22sincos1知识探究(一)：基本关系思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？POxyM1α(,)xy思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？22sincos1Oxy知识探究(一)：基本关系(0,1)P(0,1)Pxysintancos知识探究(一)：基本关系思考3：设角α的终边与单位圆交于点，根据三角函数定义，有由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？tan(0),yxxsin,ycos,x(,)PxyOxyPMATsincostanMPOMATsintancos思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？()2kkZsintancos知识探究(一)：基本关系同一角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切结论：思考1：对于平方关系可作哪些变形？22sincos122sin1cos22cos1sin2sin1cos2cos1sin知识探究(二)：基本变形思考2：对于商数关系可作哪些变形？sintancossincostan,aaa=sincos.tan知识探究(二)：基本变形典例分析例1、3,.5已知sin求cos,tan的值1640.cos255如果是第三象限角，那么cos于是0,sin1,解：因为sin所以是第三或第四象限角.22222316sincos1cos1sin1.525由得sin353tan()().cos544从而43costan.54如果是第四象限角，那么，分类讨论的值，求、已知问题cos,sin3tan1解：cossintan0tan为第二或第四象限角3cossin1cossin22{43sin41cos22{解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin{方程(组)思想tan33、已知，求下列式子的值。23cossin(1);3cossin(2)2sin3sincos.2、化简。21sin440的值；求、已知：tan,sin,1312cos11变式证明：cossin1sin1coscos)sin1()sin1(cos220cos)sin1(coscos22因此cossin1sin1cos作差法课本例题7发散思维提问：本题还有其他证明方法吗？求证：cossin1sin1cos证法二：2sin1)sin1)(sin1(因为2coscoscos因此cossin1sin1cos由原题知：0cos,0sin1恒等变形的条件证法三：由原题知：0cos则1sin原式左边=)sin1)(sin1()sin1(cos2sin1)sin1(cos2cos)sin1(coscossin1=右边因此cossin1sin1cos恒等变形的条件三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系注：要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）（3）证明左、右两边等于同一式子xxxxxxtan1tan1sincoscossin21222、求证问题证法一：xxxxxxxxxxxxxxxxxxsincossincos)sin)(cossin(cos)sin(cos)sin)(cossin(coscossin2cossin222左边xxxxxxxxsincossincoscos)tan1(cos)tan1(右边左边=右边所以原等式成立左边中间右边所以原等式成立左边右边右边左边xxxxxxxxxxxxtan1tan1cos)sin(coscos)sin(cossincossincos证法二：四、归纳总结：（2）三角函数值的计算与证明利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。证明时常用方法：方法1：从一边开始证明它等于另一边；方法2：证明原等式的等价关系，方法3：证明左、右两边等于同一式子；在化简证明过程中要注意两边都有意义的条件下才恒等。（1）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkkcossintan,1cossin22（前提是“同角”，因此）本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法（应用极为广泛；巧用“1”，）22cossin1五、拓展延伸：）的关系式吗？（的基本关系推导出更多你能利用同角三角函数的一个变形，就是可以看出，从例题题第组422221cossincossin1sin1cos7BPxxxxxx的变形也是所以解：1cossincossin21cossincossin21cossin1coscossin2sin1)cos(sin1cossin2222442244422422222xxxxxxxxxxxxxxxxxx的变形和是所以时，可得：当解：xxxxxxxxxxxxxxxxtancossin1cossincos11tancos11tancos1coscossin0cos1cossin222222222222等等。；变形得,cos1tan1cossin21cossin1cossin22224422xxxxxxxx六、课后作业）组的值；（，求、已知）组；（、求证）组的值（，求、已知题第）题题（第题第33131122222221cossincossin2tan3cos22sin)1(cos2tan,cos31sin1BPAPAPxxx课题：1.2.2同角三角函数的基本关系一、探究公式：）（、R1cossin122),2(;tancossin2Zkk、二、例题：的值，求：已知例tan,cos53sin6xxxxcossin1sin1cos:7求证例三、练习：的值，求、已知cos,sin3tan1xxxxxxtan1tan1sincoscossin21222、求证：四、小结：xPMyo五、作业：MATOxyP图3MOP，易得如图3∽AOTtancossin||||||||即OAATOMMP