高一函数复习一、函数的概念与表示1、映射映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。注意点:(1)对映射定义的理解;(2)判断一个对应是映射的关键:A中任意,B中唯一;对应法则f.给定一个集合A到集合B的映射,且,aAbB.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.注意:(1)A中的每一个元素都有象,且唯一;(2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一;(3)a的象记为f(a).【例题1】设集合A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从A到B的对应法则f不是映射的是().A.f:x→y=12xB.f:x→y=13xC.f:x→y=14xD.f:x→y=16x【变式练习1】若:fAB能构成映射,下列说法正确的有()(1)A中的任一元素在B中必须有像且唯一;(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像;(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像;(4)像的集合就是集合B.A、1个B、2个C、3个D、4个2、函数构成函数概念的三要素:①定义域;②对应法则;③值域两个函数是同一个函数的条件:当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.【例题1】下列各对函数中,相同的是()A、xxgxxflg2)(,lg)(2B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)(D、f(x)=x,2)(xxf【例题2】}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A、0个B、1个C、2个D、3个【变式练习】1.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.1,xyyxB.211,1yxxyxC.33,yxyxD.2||,()yxyx2.集合22Mxx,02Nyy,给出下列四个图形,其中能表示以M为定义域,N为值域的函数关系的是()3.下列四个图象中,不是函数图象的是()【巩固练习】xxxx1211122211112222yyyy3OOOO1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的是()⑴3)5)(3(1xxxy,52xy;⑵111xxy,)1)(1(2xxy;⑶xxf)(,2)(xxg;⑷343()fxxx,3()1Fxxx;⑸21)52()(xxf,52)(2xxf。A.⑴、⑵B.⑵、⑶C.⑷D.⑶、⑸2、设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A、xxf)(,2)(xxgB、xxxf2)()(,2)()(xxxgC、1)(xf,0)1()(xxgD、39)(2xxxf,3)(xxg3、下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=(x)2B.y=33xC.y=2xD.y=xx24.下列图象中表示函数图象的是()ABCD5.已知集合421,2,3,,4,7,,3AkBaaa,且*,,aNxAyB,使B中元素31yx和A中的元素x对应,则,ak的值分别为()A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5二、函数的解析式与定义域1、函数解析式的七种求法一、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。【例1】设)(xf是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf.xy0xy0xy0xy0解:设baxxf)()0(a,则babxabbaxabxafxff2)()()]([342baba3212baba 或 32)(12)(xxfxxf 或 二、配凑法:已知复合函数[()]fgx的表达式,求()fx的解析式,[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域,而是()gx的值域。【例2】已知221)1(xxxxf)0(x,求()fx的解析式.解:2)1()1(2xxxxf,21xx2)(2xxf)2(x三、换元法:已知复合函数[()]fgx的表达式时,还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。【例3】已知xxxf2)1(,求)1(xf.解:令1xt,则1t,2)1(txxxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。【例4】已知:函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称,求)(xg的解析式解:设),(yxM为)(xgy上任一点,且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点则3222yyxx,解得:yyxx64,点),(yxM在)(xgy上xxy2把yyxx64代入得:)4()4(62xxy整理得672xxy67)(2xxxg五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。【例5】设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解xxfxf)1(2)(①显然,0x将x换成x1,得:xxfxf1)(2)1(②解①②联立的方程组,得:xxxf323)(【例6】设)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式解)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,)()(),()(xgxgxfxf又11)()(xxgxf①,用x替换x得:11)()(xxgxf即11)()(xxgxf②解①②联立的方程组,得11)(2xxf,xxxg21)(六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。【例7】已知:1)0(f,对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,求)(xf解对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,不妨令0x,则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为:1)(2xxxf七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例8】设)(xf是定义在N上的函数,满足1)1(f,对任意的自然数ba,都有abbafbfaf)()()(,求)(xf解Nbaabbafbfaf,)()()(,,不妨令1,bxa,得:xxffxf)1()1()(,又1)()1(,1)1(xxfxff故①分别令①式中的1,21xn得:(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffffnfnn将上述各式相加得:nfnf32)1()(,2)1(321)(nnnnfNxxxxf,2121)(2【变式练习】1、已知11112xxf,求xf的解析式。(换元法)2、设二次函数xfy的最小值等于4,且620ff,求xf的解析式。(待定系数法)3、已知3311()fxxxx,求()fx;4、已知f(x-1)=3x-1,求()fx;5、已知()fx是一次函数,且满足3(1)2(1)217fxfxx,求()fx;6、已知()fx满足12()()3fxfxx,求()fx.7、已知xxxf21,求xf。8、已知)(xf是一次函数,且14xxff,求)(xf的解析式。9、设)(xf是R上的函数,且满足10f,并且对任意实数yx,,有12yxyxfyxf,求xf的表达式。【巩固练习】1.设函数()23,(2)()fxxgxfx,则()gx的表达式是()A.21xB.21xC.23xD.27x2.函数)23(,32)(xxcxxf满足,)]([xxff则常数c等于()A.3B.3C.33或D.35或3.已知)0(1)]([,21)(22xxxxgfxxg,那么)21(f等于()A.15B.1C.3D.304.已知2211()11xxfxx,则()fx的解析式为()A.21xxB.212xxC.212xxD.21xx5.若函数xxxf2)12(2,则)3(f=.6.已知2(21)2fxxx,则(3)f=_________.7.已知函数1()1xfxx.求:(1)(2)f的值;(2)()fx的表达式.8.已知2()fxaxbxc,(0)0f,且(1)()1fxfxx,试求()fx的表达式.2、求函数定义域的主要依据:(1)()fx是整式时,定义域是全体实数.(2)()fx是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.(3)()fx是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.(4)零(负)指数幂的底数不能为零.(5)对数函数的真数必须大于零.(6)指数函数、对数函数的底数必须大于零且不等于1.(7)若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.(8)对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出.(9)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求函数定义域的两个难点问题1、已知()fx的定义域是[-2,5],求(23)fx的定义域。2、已知(21)fx的定义域是[-1,3],求()fx的定义域。【例1】函数20.5log(43)yxx的定义域为.【例2】设2()lg2xfxx,则2()()2xffx的定义域为__________.【变式练习】1、求下列函数的定义域:(1)121yx;(2)3312xyx.2.函数0(1)xyxx的定义域是_____________________。3.已知函数yfx()1定义域是[]23,,则yfx()21的定义域是()A.[]052,B.[]14,C.[]55,D.[]37,4.设函数fx()的定义域为[]01,,则函数fx()2的定义域为__________。5.24)2(xxf,求)(xf的定义域。【巩固练习】1.函数21232xyxx的定义域为()A.(,1]B.(,2]C.11(,)(,1]22D.11(,)(,1]222.已知函数()fx的定义域为[1,2),则(1)fx的定义域为().A.[1,2)B.[0,2)C.[0,3)D.[2,1)3.已知y=f(x+3)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.