高数二重积分习题解答

1第9章重积分及其应用1．用二重积分表示下列立体的体积：(1)上半球体：2222{(,,)|;0}xyzxyzRz；(2)由抛物面222zxy，柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体解答：(1)222222dd,{(,)|}DVRxyxyDxyxyR；(2)2222(2)dd,{(,)|1}DVxyxyDxyxy所属章节：第九章第一节难度：一级2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1)222dDaxy，其中D为222xya；(2)22()dDbxy，其中D为222,0xyaba解答：(1)22232dπ3Daxya；(2)22232()dππ3Dbxyaba所属章节：第九章第一节难度：一级3．一带电薄板位于xOy平面上，占有闭区域D，薄板上电荷分布的面密度为(,)xy，且(,)xy在D上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q．解答：(,)dDQxy所属章节：第九章第一节难度：一级4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x轴铅直向下，y轴位于水平面上，并设薄板占有xOy平面上的闭区域D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力解答：dDpgx所属章节：第九章第一节难度：一级25．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小(1)21()dDIxy与32()dDIxy，其中D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的区域；(2)1ln(1)dDIxy与222ln(1)dDIxy，其中D是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1；(3)21sin()dDIxy与22()dDIxy，其中D是任一平面有界闭区域；(4)1edxyDI与22edxyDI，其中D是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1；解答：(1)在区域D内部，1xy，所以I1I2；(2)在区域D内部，22,xxyy，故22ln(1)ln(1)xyxy，所以I1I2；？(3)由于22sin()()xyxy，所以I1I2；(4)在区域D内部，0xy，故2xyxyee，所以I1I2所属章节：第九章第一节难度：一级6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值(1)d,{(,)|04,08}ln(4)DIDxyxyxy；(2)2222π3πsin()d,(,)44DIxyDxyxy；(3)221d,{(,)|||||1}100coscosDIDxyxyxy；(4)22221ed,(,)4xyDIDxyxy解答：(1)由于{(,)|04,08}Dxyxy的面积为32，在其中111ln16ln(4)ln4xy，而等号不恒成立，故816ln2ln2I；(2)由于22π3π(,)44Dxyxy的面积为212，在其中222sin()12xy，而等号不恒成立，故222ππ42I；3(3)由于{(,)|||||1}Dxyxy的面积为2，在其中22111102100100coscosxy，而等号不恒成立，故115150I；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}Dxyxy改为{(,)|||||10}Dxyxy，则区域面积为200，结论为100251I(4)由于221(,)4Dxyxy的面积为14，在其中12241sin()xye，而等号不恒成立，故14ππe44I．所属章节：第九章第一节难度：二级7．设f(x，y)是连续函数，试求极限：222201lim(,)dπrxyrfxyr解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得2222200011lim(,)lim(,)lim(,)(0,0)rrrxyrfxydfffrr．所属章节：第九章第一节难度：二级8．设f(x，y)在有界闭区域D上非负连续，证明：(1)若f(x，y)不恒为零，则(,)d0Dfxy；(2)若(,)d0Dfxy，则f(x，y)≡0解答：(1)若f(x，y)不恒为零，则存在00(,)xyD，00(,)0fxy，利用连续函数的保号性，存在00(,)xy的一个邻域1DD，在其上恒有(,)0fxy，于是1(,)d0Dfxy，而1(,)d0DDfxy，所以11(,)d(,)d(,)d0DDDDfxyfxyfxy；(2)假若f(x，y)不恒为零，则由上题知(,)d0Dfxy，矛盾，故f(x，y)≡0．所属章节：第九章第一节难度：二级49．计算下列二重积分：(1)πsind,(,)12,02DxyDxyxy；(2)22(e)d,(,)11,01xyDxyDxyxy；(3)2ed,(,)01,01xyDxyDxyxy；(4)22πsin()d,(,)0,022DxyxyDxyxy；(5)2222d,(,)2,2DxDxyxyxyx解答：(1)2221013sindsin2Dxydxxydyxdx；(2)2211111222222101011(1)(e)d()(1)22xyxyxyxDexydxxyedydxedyeedxe；(3)221110001d)(1)122xyxyxDexyedxxyedyedx；(4)222222220001sin()dsin()(cos4)216Dxyxydxxyxydyxxxdx；(5)221212111112yyDxddyxdxydy．所属章节：第九章第二节难度：一级10．画出下列各题中给出的区域D，并将二重积分(,)dDfxy化为两种次序不同的二次积分：(1)D由曲线y=lnx，直线x=2及x轴所围成；(2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成；(3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成；(4)D由曲线y=x3，y=x所围成；(5)D由直线y=0，y=1，y=x，y=x–2所围成解答：本题图略，建议画出(1)2lnln22100(,)(,)yxedxfxydydyfxydx；(2)23132192301(,)(,)(,)yxyxyydxfxydydyfxydxdyfxydx；5(3)sin1arcsin000arcsin(,)(,)xyydxfxydydyfxydx；(4)333301011010(,)(,)(,)(,)xxyyxxyydxfxydydxfxydydyfxydxdyfxydx；注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D由曲线y=x3，y=x所围成”改为“D由曲线3,1,1yxyx所围成”，则答案为原参考答案33111111d(,)dd(,)dyxxfxyyyfxyx；(5)12131120010220d(,)dd(,)dd(,)dd(,)dxyxyxfxyyxfxyyxfxyyyfxyx所属章节：第九章第二节难度：一级11．计算下列二重积分：(1)22dDxy，D由曲线x=2，y=x，xy=1所围成；(2)cos()ddDxxyxy，D由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；(3)dDxy，D由抛物线yx和y=x2围成；(4)ddDxyxy，D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成；(5)sindDxy，D由直线y=x，y=2和曲线x=y3所围成解答：(1)22223122119()4xxDxxddxdyxxdxyy；(2)0003cos()cos()(sin2sin)2xDxxydxdydxxxydyxxxxdx；(3)2711440026()355xxDxyddxxydyxxdx；(4)22222411145(44)28yyDxydxdydyxydxyyyydx；(5)3222113cos1sin1sin4sin()sin()(cos1cos)2yyDxxddydxyyydyyy．所属章节：第九章第二节难度：二级612．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：(1)10d(,)dyyyfxyx；(2)21220010d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy；(3)2122d(,)dyyyfxyx；(4)222402d(,)dxxxxfxyy；(5)21101d(,)dxxxfxyy(6)1320d(,)dyyyfxyx解答：本题图略，建议画出(1)210(,)xxdxfxydy；(2)120(,)yydyfxydx；(3)14201(,)(,)xxxxdxfxydydxfxydy；(4)222211114240001110(,)(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydxdyfxydx；(5)201111000(,)(,)yydyfxydxdyfxydx；(6)231320010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy所属章节：第九章第二节难度：一级13．计算下列二次积分：(1)1/31140d1dyyxx；(2)23211dedyxxy；(3)ππ220sinddyxyxx；(4)2220d2sin()dxxyxyy；(5)π1220arcsindcos1cosdyyxxx；7(6)24212ππdsinddsind22xxxxxxyxyyy解答：(1)31/311114434000011116xydyxdxdxxdyxxdx；(2)222322124110001(1)2yyyyxdxedydyedxyedye；(3)22220000sinsinsin1xyxxdydxdxdyxdxxx；(4)222222200002sin()2sin()[22cos()]4sin4yxdxyxydydyyxydxyyydy；(5)1sin2222220arcsin000cos1coscos1cossincos1cosxydyxxdxdxxxdyxxxdx3222011(1cos)(221)33x；(6)22422231211284sinsinsincos2222xyxxyxxxdxdydxdydydxyydyyyy．所属章节：第九章第二节难度：二级14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分：(1)222||d,:DxyDxyR；(2)2322(tan4)dd,:4DxxyxyDxy；(3)2222(1)arcsind,:()DyxxDxRyRR；(4)(||||)dd,:||||1DxyxyDxy解答：(1)设2221:,0,0DxyRxy，则143200||4||4sincos2RDDRxydxyddrdr