结构有限元法第1章三角形常应变单元的有限元法第2章有限元程序设计与分析软件第3章平面问题高阶单元的有限元法第4章空间实体的有限元法第5章杆系结构的有限元法第6章板壳问题的有限元法第7章结构动力问题的有限元法?第8章弹塑性问题的有限元法结构有限元分析第1章三角形单元的有限元法1.1有限元法的基本思想有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵分析,其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替原连续体,采用能量原理研究单元及其离散集合体的平衡,以计算机为工具进行结构数值分析。它避免了经典弹性力学获得连续解的困难(建立和求解偏微分方程),使大型、复杂结构的计算容易地在计算机上完成,应用十分广泛。ANSYS,SAP2K把整体结构离散为有限个单元,研究单元的平衡和变形协调;再把这有限个离散单元集合还原成结构,研究离散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。○○①②③④⑤⑥⑦⑧12345678910P576⑤④456③345⑥678①②⑦⑧弹性悬臂板剖分与集合单元、节点需编号有限元法主要优点:(1)概念浅显,容易掌握。(离散、插值、能量原理、数学分析)(2)适用性强,应用范围广,几乎适用于所有连续体和场问题的分析。(结构、热、流体、电磁场和声学等问题)(3)计算规格化(采用矩阵表示),便于计算机编程。1.1.1有限元法的分析步骤(1)结构离散化:用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体,并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调,形成单元平衡方程。l/2l/2P123①②1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4单元的节点上有位移和力F(2)单元集合:把所有离散的有限个单元集合起来代替原结构,形成离散结构节点平衡方程。(3)由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。1、F12、F23、F34、F4l/212①l/223②1、F12、F23、F34、F4l/2l/2P123①②1.1.2有限元法分析思路流程解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散(剖分)结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)(1-1)Tsysxsysxsqqqqq][}{2、单元内任意点的体积力列阵qV(1-2)TVyVxVyVxVqqqqq][}{1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV·qs·1.2基本力学量矩阵表示图1-1ijmxy·uv3、单元内任意点的位移列阵fTuf][}{(1-3)4、单元内任意点的应变列阵Txyyx][}{(1-4)ijmxy·5、单元内任意点的应力列阵Txyyx][}{(1-5)6、几何方程Txyuyxu}{(1-6)xvyuyvxuxyyx,,将上式代入式(1-4),ijmxy·Txyyx][}{(1-4)7、物理方程矩阵式xyyxxyyxE21001112称对(1-7)式中E、——弹性模量、泊松比。上式可简写为}]{[}{D(1-8)其中对于弹性力学的平面应力问题,物理方程的矩阵形式可表示为:)(12yxxE2100111][2称对ED(1-9)矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题,将式(1-9)中的E换为,换为。21E1}]{[}{D(1-8)各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8)描述。但结构类型不同,力学性态(应力分量、应变分量)有区别,弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。1.3位移函数和形函数•1、位移函数概念由于有限元法采用能量原理进行单元分析,因而必须事先设定位移函数。“位移函数”也称“位移模式”,是单元内部位移变化的数学表达式,设为坐标的函数。一般而论,位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中,恰当选取位移函数不是一件容易的事情;但在有限元中,当单元划分得足够小时,把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里,仍以平面问题三角形单元(图1-2)为例,说明设定位移函数的有关问题。图1-2是一个三节点三角形单元,其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量:),,(][}{mjiuTiii(1-10)一个三角形单元有3个节点(以i、j、m为序),共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为:图1-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定本问题选位移函数(单元中任意一点的位移与节点位移的关系)为简单多项式:yaxaayaxaau654321(1-12)式中:a1、a2、…、a6——待定常数,由单元位移的6个分量确定。a1、a4代表刚体位移,a2、a3、a5、a6代表单元中的常应变,而且,位移函数是连续函数。Tmmjjiimjiuuu][}{(1-11)ijmuiujumvivjvmxy·uv625352,,aaaaayvaxuxyyx选取位移函数应考虑的问题(1)位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v,与此相应,有2个位移函数;(3)位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元节点自由度总数,以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度,两个位移函数中共包含6个待定常数。(2)位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为:x、y;(4)位移函数中必须包含单元的刚体位移。(5)位移函数中必须包含单元的常应变。(6)位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。条件(4)、(5)构成单元的完备性准则。条件(6)是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明,完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明,三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。(7)位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现(4)—(6)的要求,根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取;多项式的项数等于(或稍大于)单元节点自由度数。4322343223221yxyyxy xxyxyy xxy xyxyx yaxaayaxaau654321例:平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。xvyuyvxuxyyx,,(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单元,如③单元,取位移函数:①、②、③、④单元的位移函数都是yaxaayaxaau654321可以看出:位移函数在单元内是连续的;以③、④的边界26为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合,此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗?是。3、形函数形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。iiiiiiyaxaayaxaau654321jjjjjjyaxaayaxaau654321mmmmmmyaxaayaxaau654321(1-13)(1)形函数确定现在,通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、…、a6。设节点i、j、m的坐标分别为(xi、yi)、(xj、yj)、(xm、ym),节点位移分别为(ui、vi)、(uj、vj)、(um、vm)。将它们代入式(1-12),有)121(654321yaxaayaxaau从式(1-13)左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为mmmjjjiiiyxuyxuyxuAa211mmjjiiyuyuyuAa111212mmjjiiuxuxuxAa111213(1-14)式中,A为三角形单元的面积,有mmjjiiyxyxyxA11121(1-15)特别指出:为使求得面积的值为正值,本单元节点号的次序必须是逆时针转向,如图所示。至于将哪个节点作为起始节点i,则没有关系。将式(1-14)代入式(1-12)的第一式,整理后得])()()[(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu同理])()()[(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaAijmxy(2)(1)(7)])()()[(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu])()()[(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA(1-16)式中),,(mjijmmjiyxyxamjiyybmjixxc(1-17)ijm式(1-17)中(i、j、m)意指:按i、j、m依次轮换下标,可得到aj、bj、cj~am、bm、cm。后面出现类似情况时,照此推理。式(1-17)表明:aj、bj、cj~am、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。])()()[(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu])()()[(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA(1-16)令)(21ycxbaANiiii),,(mji(1-18)位移模式(1-16)可以简写为(1-19)mmjjiimmjjiiNNNuNuNuNu式(1-19)中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数,反应了单元的位移形态,称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值,又称插值函数。])()()[(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu])()()[(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaA(1-16)用形函数把式(1-16)写成矩阵,有mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000缩写为}]{[}{Nf(1-20)形函数是有限单元法中的一个重要函数,它具有以下性质:[N]为形函数矩阵,写成分块形式:]][][][[][mjiNNNN(1-21)其中子矩阵),,(][00][mjiINNNNiiii(1-22)[I]是2×2的单位矩阵。(2)形函数性质性质1形函数Ni在节点i上的值等于1,在其它节点上的值等于0。对于本单元,有0),(0),(1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN(i、j、m)性质2在单元中任一点,所有形函数之和等于1。对于本单元,有1),(),(),(yxNyxNyxNmjimmjjiimmjjiiNNNuNuNuNuxyN(i,j,m)Ni=1ijm图1-3???公式证明、、和利用iiiiiiicbaycxbaAN)(21xyN(I,j,m)Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1图1-4也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质(等于行列式值或0)证明。性质3在三角形单元的边界ij上任一点(x,y),有0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxy