人教版高中数学椭圆专题复习资料

实用文案标准文档高中数学椭圆的专题复习椭圆知识点梳理1.椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线2axc；⑤离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥通径22ba2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如:直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0redaex，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；（2）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小，则点M的坐标为_______（答：)1,362(）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan||2Sbcy，当0||yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；6、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，实用文案标准文档则AB＝2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；如（1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280xy）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：213213,1313）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！椭圆知识点1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点实用文案标准文档总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。实用文案标准文档椭圆题型1:椭圆定义的运用例1、已知12,FF为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若2212FAFB，则AB______。例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是例3、如果方程222xky表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.例4、已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆2231xy和圆2234xy上的点，则PMPN的最小值为题型2：求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.（1）经过两点)2,3(A、(23,1)B；(2)经过点(2，－3)且与椭圆364922yx具有共同的焦点.（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4.题型3:求椭圆的离心率（或范围）例1、ABC中，．030,2,3ABCAABS若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为.例2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1、已知实数,xy满足22142xy,则22xyx的范围为实用文案标准文档例2、已知P是椭圆22221xyab上一点，12,FF是椭圆的两个焦点，求12PFPF的最大值与最小值例3、已知点,AB是椭圆22221xymn（0,0mn）上两点,且AOBO,则=例4、如上图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1,234567,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF_____题型5：焦点三角形问题例1、已知12,FF为椭圆22194xy的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知12,,PFF为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF,求12PFPF的值；例2、已知12,FF为椭圆C:22184xy的两个焦点，在C上满足12PFPF的点的个数为例3、若12,FF为椭圆22194xy的两个焦点，p为椭圆上的一点，当12FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围为例4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF,且经过点（1，32）①求椭圆的方程;②设点P在椭圆上,且121PFPF,求cos21PFF.题型6:三角代换的应用例1、椭圆221169xy上的点到直线l:90xy的距离的最小值为___________．例2、椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1、当m为何值时，直线yxm与椭圆221169xy相交？相切？相离？实用文案标准文档例2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围；题型8：弦长问题例3．求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长.例4、已知椭圆2212xy的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；题型9：中点弦问题例5、求以椭圆22185xy内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例6、中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例7、椭圆221mxny，与直线1xy相交于、两点，是的中点．若22AB，斜率为22（O为原点），求椭圆的方程．题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点,Pxy的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA，且1OQAB，求P点的轨迹方程;15.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。实用文案标准文档基础巩固训练1.如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且1BDB,则椭圆的离心率为2.设12,FF为椭圆2214xy的两焦点，P在椭圆上，当12FPF面积为1时，12PFPF的值为3.椭圆221369xy的一条弦被4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是4.在ABC△中，90A，3tan4B．若以,AB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e5.若12,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若3:2:1::211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为6.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．综合提高训练7、已知椭圆22221(0)xyabab与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率32e．求椭圆方程；8.已知A、B分别是