对数式与对数函数复习课件

一、对数式1.对数的定义如果ax=N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数.x=logaNaN对数与指数的互化ax=Nx=logaN推论：①=_____;②logaaN=_____(a0且a≠1).NaalogNN对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________logaN10lgNelnN2.几种常见对数一、对数式一、对数式3.对数的性质①loga1=0(a0且a≠1).②logaa=1(a0且a≠1)③零和负数没有对数。4.对数的运算法则如果a0且a≠1,M0,N0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;logaM+logaNlogaM-logaNNMalog③logaMn=___________(n∈R);④nlogaM.loglogMmnManam一、对数式①换底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推广logab·logbc·logcd=______.5.对数的重要公式bNNaablogloglog,log1logabbalogad二、对数函数1.对数函数的定义函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.(0,+∞)说明：对数函数有以下特点：（1）自变量在真数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于0不等于1；（3）对数式前面的系数为1。称以10为底的对数函数y=lgx为常用对数函数称以无理数e为底的对数函数y=lnx为自然对数函数2.对数函数的图象和性质a10a1图象性质(1)定义域:__________(2)值域:_____(3)过点_______,即x=___时,y=___(4)当x1时,_____当0x1时,_______(4)当x1时,_______当0x1时,_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________(0,+∞)R(1,0)10y0y0y0y0增函数减函数说明：对数函数值域为R指的是真数取遍所有正实数3.反函数指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数，它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x题型一对数的化简与求值【例1】(1)化简:(2)化简:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.;40lg50lg8lg5lg2lg;24log35.0解(1)原式=(2)(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.∵loga3=n,∴an=3.故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.方法二∵loga2=m,loga3=n,.145lg45lg4050lg852lg.241828282822241log4log4log4log34log322215.05.0.1212log3log2log22aaaaaanm探究提高（1）在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.知能迁移1(1)化简(log43+log83)(log32+log92)=________.解析.45)2log23()3log65()22(log)33(log)2log212)(log3log313log21(32213312123322原式45(2)已知3a=5b=A,且则A的值是（）A.15B.C.D.225解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,∴=logA3+logA5=logA15=2,∴A2=15,∴A=或A=（舍）.,211ba1515ba111515B题型二比较大小【例2】设a=log2π,则（）A.abcB.acbC.bacD.bca解析∵a=log2π1,∴ab,ac.∴bc,∴abc.,3log2b,2log3c,12log21,13log2132cb,12lg3lg2log3log2232又探究提高比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,①当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.知能迁移2比较下列各组数的大小.(1)(2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知比较2b,2a,2c的大小关系.;56log32log53与,logloglog212121cab解（1）∵log31=0,log51=0,∴32log356log5.56log32log53(2)方法一∵00.71,1.11.2,∴0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)∵为减函数，∴bac,而y=2x是增函数，∴2b2a2c.,2.1log11.1log17.07.0xy21log,logloglog212121cab且题型三对数函数的性质【例3】(12分)已知函数f(x)=logax(a0,a≠1)，如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.解当a1时，对于任意x∈[3，+∞),都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3，+∞)上为增函数，∴对于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1a≤3.当0a1时，对于x∈[3，+∞),有f(x)0,∴|f(x)|=-f(x).∵f（x）=logax在[3，+∞)上为减函数，∴-f（x）在[3，+∞)上为增函数.∴对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可，综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3，+∞)都成立的a的取值范围是(1，3]∪[，1)..131,31,1log13logaaaaa即31本题属于函数恒成立问题，即在x∈[3，+∞)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.探究提高知能迁移3(1)设f(x)=是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞))12lg(axA解析∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0.解之，得a=-1.∴f(x)=令f(x)0，则∴x∈(-1，0)..11lgxx,1110xx(2)已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)∪(1,3)D.(3,+∞)解析记u=(3-a)x-a,当1a3时，y=logau在（0，+∞）上为增函数，u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求.当a3时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意.故选B.答案B题型四对数函数的综合应用【例4】已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=OD的斜率为k2=由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx,log3log228222xxxx（2）解由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得代入x2log8x1=x1log8x2,得由于x11,知log8x1≠0,故又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为利用函数图象和解析几何的思想方法,突出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想.,,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx3).3log,3(8探究提高知能迁移4已知函数是奇函数(a0,a≠1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.解（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，∴1-m2x2=1-x2恒成立，∴m=-1或m=1（舍去），∴m=-1.11log)(xmxxfa,11log11logxmxxmxaa即（2）由（1）得(a0,a≠1),任取x1,x2∈(1,+∞).设x1x2,令t(x)=∵x11,x21,x1x2,∴x1-10,x2-10,x2-x10.11log)(xxxfa,11xx,)1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxxxxxtxtxxxtxxxt则∴t(x1)t(x2),即∴当a1时，∴f(x)在（1,+∞）上是减函数；当0a1时，∴f(x)在（1,+∞)上是增函数.,11112211xxxx),()(,11log11log212211xfxfxxxxaa即),()(,11log11log212211xfxfxxxxaa即思想方法感悟提高方法与技巧1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n为偶数).3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式在解题中的灵活应用.abbmnbaalog1log,lognabmlog失误与防范4.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式，对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.2.指数函数y=ax(a0，且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.