(教师版较详细)椭圆的讲义与练习

椭圆讲义与练习2013年初1椭圆讲义与练习题型一：椭圆的第一定义与标准方程例1、椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy．解：（1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay．由已知ba2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy．（2）设方程为12222byax．由已知，3c，3cb，所以182a．故所求方程为191822yx．椭圆讲义与练习2013年初2说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay．例2、已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．变式练习：已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．例3、已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k．椭圆讲义与练习2013年初3说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．变式练习：已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．总结区：求椭圆方程的总结：题型二：第二定义的应用及焦半径，焦点弦和焦点三角形问题例4、椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MFeAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．椭圆讲义与练习2013年初4变式练习：已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．(1)求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点，由6221aPFPF，22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．由22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P．综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26．(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由3a，2c，椭圆讲义与练习2013年初5∴32e．由椭圆第二定义知322ePQPF，∴223PFPQ，∴PQPAPFPA223，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右准线方程为29x．∴A到右准线距离为27．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标)1,556(．说明：求21PFePA的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段．例5、设),(00yxP是离心率为e的椭圆12222byax)0(ba上的一点，P到左焦点1F和右焦点2F的距离分别为1r和2r，求证：01exar，02exar．并由此证明椭圆上的点到焦点距离最远和最近的点都在顶点。分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P点到椭圆的左准线caxl2：的距离，caxPQ20，椭圆讲义与练习2013年初6由椭圆第二定义，ePQPF1，∴01exaPQer，由椭圆第一定义，0122exarar．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．变式练习：（06四川）如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF_____【解析】只需取椭圆的另一焦点与1P,2P,……7P七个点分别连接，由结论1和对称性可知：1271......145352PFPFPF例6、已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M存在，设11yxM，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e．∵左准线l的方程是4x，∴14xMN．又由焦半径公式知：111212xexaMF，112212xexaMF．∵212MFMFMN，∴11212122124xxx．整理得048325121xx．解之得41x或5121x．①另一方面221x．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条椭圆讲义与练习2013年初7件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．例7、已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求证：21PFF的面积2tan2bS.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．总结区：焦点三角形的处理方法：变式训练：已知1F，2F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21FPF的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222byax（0ba），),(11yxP（01y）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan1212PFPFPFPFKKKK，设),(11yxP，)0,(1cF，)0,(2cF，化简可得03233212121ccyyx．又1221221byax，两方程联立消去21x得0323412212bcybyc，由],0(1by，可以确定离心率的取值范围；解出1y可以求出21FPF的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11exaPF，12exaPF，在21FPF中运用余弦定理，椭圆讲义与练习2013年初8求1x，再利用],[1aax，可以确定离心率e的取值范围，将1x代入椭圆方程中求1y，便可求出21FPF的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合aPFPF221求解．解：(法1)设椭圆方程为12222byax（0ba），),(11yxP，)0,(1cF，)0,(2cF，0c，则11exaPF，12exaPF．在21FPF中，由余弦定理得))((24)()(2160cos1122121exaexacexaexa，解得2222134eacx．(1)∵],0(221ax，∴2222340aeac，即0422ac．∴21ace．故椭圆离心率的取范围是)1,21[e．(2)将2222134eacx代入12222byax得24213cby，即cby321．∴22213332212121bcbcyFFSFPF．即21FPF的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设mPF1，nPF2，12FPF，21FPF，则120．(1)在21FPF中，由正弦定理得60sin2sinsincnm．