勾股定理竞赛试卷(含解答)

八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC周长是24，M是AB的中点MC=MA=5，则△ABC的面积是（）A．12;B．16;C．24;D．302、如图，在正方形ABCD中，N是CD的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则AM：AB=（）A．31;B．33;C．21;D．63第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为（）A.2;B.22;C.23;D.34、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（）A．200;B．225;C．256;D．150+1025、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为（）A．12;B．102;C．16;D．20二、填空题（每小题5分，共25分）第（5）题图6、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点1021,,PPP，记CPBPAPMiiii2（i=1，2，……，10），那么，1021MMM=_________。第（6）题图7、如图，设∠MPN=20°，A为OM上一点，OA=43，D为ON上一点，OD=83，C为AM上任一点，B是OD上任意一点，那么折线ABCD的长最小为__________。第（7）题图第（8）题图8、如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积=__________。9、若x+y=12，那么9422yx的最小值=___________。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。12、（本题15分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。13、（本题15分）设a,b,c,d都是正数。求证：addbacbcddca222222222214、（本题15分）如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD。15、（本题15分）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC2+BC2=102，∴2AC·BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4×24∴2421BCACSABC2．如图，延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB∴AM：MB=OB：BT∴MB2=2AM·BT（1）令DN=1，CT=MD=k，则AM=2–k所以BM=222)2(4kAMABBT=2+k代入（1），得4+(2–k)2=2(2–k)(2+k)所以k=34所以AM：AB=32：2=313．如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H设CF=x，FB=y,AH=s,HB=x,所以OG=x,DG=s所以OF2=OB2-BF2=OC2-CF2即42-x2=32-y2所以x2-y2=16–9=7（1）同理有OH2=12-s2=32-t2所以t2-s2=32-12=8（2）又因为OH2+HB2=OB2即y2+t2=9（1）-（2）得(x2+s2)–(y2+t2)=–122222所以OD2=x2+s2=(y2+t2)–1=9–1=8所以OD=224．如图，过P作EF⊥AB于E，交CD于F，则PF⊥CD所以PF=PA=PB=10，E为AB中点设PE=x，则AB=AD=10+x所以AE=21AB=21(10+x)在Rt△PAE中，PA2=PE2+AE2所以102=x2+[21(10+x)]2所以x=6所以正方形ABCD面积=AB2=(10+6)2=2565．如图，作B关于AC的对称点B'，连AB'，则N点关于AC的对称点N'在AB'上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N'的最小值，等于B到AB'的距离BH'，连B与AB'和DC的交点P，则ABPS=21×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC，令PA=x，则PC=x，PD=20–x，在Rt△ADP中，PA2=PD2+AD2所以x2=(20–x)2+102所以x=12.5因为ABPS=21PA·BH'所以BH'=165.1221002PASABP二、填空题1．40；2．12；3．223415；4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD⊥BC于D，在Rt△ABD和Rt△APiD中，AB2=AD2+BD2222DPADAPii所以22222)(DPADBDADAPABiiBPCPDPBDDPBDDPBDiiiii))((22所以422ABBPCPAPiii所以4iM所以401021MMM1．如图，作A关于ON的对称点A'，D关于OM的对称点D'，连结A'B，CD'，则A'B=AB，C'D=CD，从而AB+BC+CD=A'B+BC+CD'≥A'D'因为∠A'ON=∠MON=∠MOD'=20°，所以∠A'OD'=60°又因为OA'=OA=43，OD'=OD=83，所以OD'=2OA'即△OD'A'为直角三角形，且∠OA'D'=90°所以A'D'=12)34()38(222'2'OAOD所以，折线ABCD的长的最小值是123．如图，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，设AB=m,PM=x,PN=y，则)3(9)()2(1)()1(4222222yxmymxyx由（2）、（3）分别得，12222ymymx（3）92222xmxmy（4）将（1）代入（4）得;2303222mmymym将（1）代入（5）得;2505222mmxmxm把x,y的表达式分别代入（1）得0171024mm因为m20所以m2=5+22所以AB=22521,225,225ADBCm所以223415)(21ABBCADSABCD4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB⊥AC，AB⊥BD，P在AB上且PA=x，PB=y，连PC，PD，在Rt△CAP和Rt△DBP中9,4222222yPBBDPDxPAACPC如图，P点在0P位置时，PC+PD的值最小，为线段CD的长度，而CD=1312)32(22所以9422yx的最小值为13。5．设三边长为a,b,c，其中c是斜边，则有)3(2)1(222abcbacba（2）代入（1）得222)2(baabba即0)844(4baabab因为ab≠0所以ab–4a–4b+8=0所以484ba(a,b为正整数)所以b–4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1．如图,连结PA,PB，PC，设BD=x，CE=y，AF=z，则DC=17-x，EA=18–y，FB=19–z在Rt△PBD和Rt△PFB中，有2222)19(PFzPDx同理有：22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy将以上三式相加，得222222)19()18()17(zyxzyx即17x+18y+19z=487又因为x+y+z=27，所以x=z–1,所以BD+BF=x+(19–z)=z–1+19–z=182．如图，作CE⊥AB于E，则CE=AE=2622AC所以BE=AB-AE=2-26426又222BECEBC所以BC=1662722BECE再过D作DF⊥BC，交CB延长线于F，并设DF=CF=x，则BF=x–BC=x+1-6又Rt△DFB∽Rt△CEB，所以DF：BF=CE：BE，即x：(x+1-6)=264:26所以x=2623所以4692623)16(2121DFBCSBCD2．如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD，在Rt△ABE中，BE=22ABAE所以BE=cddcadca2)(22222在Rt△BCF中，BF=abdbadbaCFBC2)(2222222在Rt△DEF中，EF=2222cbDFDE在△BEF中，BE+EFBF即abdbacbcddca22222222223．如图，过A作AE∥BC交CD于E，则∠1=45°，∠2=60°，过B作BF⊥AE于F，作CG⊥AE于G，则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为AB=6，BC=5-3，所以BF=AF=22AB=3，所以CG=BF=3，所以CE=32CG=2，EG=31CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D作DM⊥AE延长线于M∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°所以EM=21DE=2，DM=23DE=23在Rt△AMD中，AD=192)32()26(2222DMAM5．如图，以A为中心，将△ABE旋转60°到△AMN，连NB，MB，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN，∠NAE=60°所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，且MC=62，∠MBC=150°在Rt△PMC中，设BC=x，PM=xPBx23,2所以222)23()2()62(xxx所以x=2,BC=2