数学建模之主成分分析法

主成分分析主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。1、主成分分析的应用（1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。（2）投资效益的分析和排序等。2、主成分分析法的步骤①对原始数据进行标准化处理用12,,,mxxx表示主成分分析指标的m个变量，评价对象有n个，ija表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值ija转化为标准化指标ija，即,(1,2,,;1,2,,)ijjijjaainjms式中：11njijian，211()1njijjisan相应地，标准化指标变量为,(1,2,,)jjjjxxjms②计算相关系数矩阵R()ijmmRr1,(,1,2,,)1nkikjkijaarijmn其中：1,iiijjirrr，ijr是第i个指标和第j指标之间的相关系数。③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量解特征方程0RI，得到特征值(1,2,,)iim12,0m；再求出相对应的特征值i的特征向量(1,2,,)iuim，其中12(,,,)Tjjjmjuuuu,由特征向量组成的m个新的指标变量为11112121212122221122mmmmmmmmmmyuxuxuxyuxuxuxyuxuxux其中：1y为第1主成分，2y为第1主成分，⋯，my为第m主成分④选择p（p≤m）个主成分，计算综合评价值。（1）计算特征值(1,2,,)jjm的信息贡献率和累积贡献率用jb表示主成分iy的信息贡献率，则有1(1,2,,)jjmkkbjm用pa表示主成分12,,,pyyy的累积贡献率，则有11pkkpmkka若pa接近于1（一般pa的范围为85%—95%）时，则用前p个指标变量12,,,pyyy作为p个主成分，代替原来m个指标变量，再对p个主成分进行综合分析。⑤计算综合得分用jb表示第j个主成分的信息贡献率，则有1pjjjZby根据综合得分值进行评价。例题：高等教育是依赖高等院校进行的，高等教育的发展状况主要体现在高等院校的相关方面。遵循可比性原则，从高等教育的五个方面选取十项评价指标，具体如图1。《中国统计年鉴，1995》和《中国教育统计年鉴，1995》除以各地区相应的人口数得到十项指标值见表1。其中：1x为每百万人口高等院校数；2x为每十万人口高等院校毕业生数；3x为每十万人口高等院校招生数；4x为每十万人口高等院校在校生数；5x为每十万人口高等院校教职工数；6x为每十万人口高等院校专职教师数；7x为高级职称占专职教师的比例；8x为平均每所高等院校的在校生数；9x为国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比重；10x为生均教育经费。图1高等教育的十项评价指标表1我国各地区普通高等教育发展状况数据请对各地区高教发展水平进行综合评价值及排序。解：定性考察反映高等教育发展状况的五个方面十项评价指标，可以看出，某些指标之间可能存在较强的相关性。比如每十万人口高等院校毕业生数、每十万人口高等院校招生数与每十万人口高等院校在校生数之间可能存在较强的相关性，每十万人口高等院校教职工数和每十万人口高等院校专职教师数之间可能存在较强的相关性。为了验证这种想法，计算十个指标之间的相关系数。可以看出某些指标之间确实存在很强的相关性，如果直接用这些指标进行综合评价，必然造成信息的重叠，影响评价结果的客观性。主成分分析方法可以把多个指标转化为少数几个不相关的综合指标，因此，可以考虑利用主成分进行综合评价。利用MATLAB软件对十个评价指标进行主成分分析，相关系数矩阵的前几个特征根及其贡献率如表2。表2主成分分析结果可以看出，前两个特征根的累计贡献率就达到90%以上，主成分分析效果很好。下面选取前四个主成分（累计贡献率就达到98%）进行综合评价。前四个特征根对应的特征向量见表3。表3标准化变量的前4个主成分对应的特征向量由此可得四个主成分分别为：112102121031210412100.34970.3590.24520.19720.0340.2860.16390.10840.86370.10220.22660.2457yxxxyxxxyxxxyxxx从主成分的系数可以看出，第一主成分主要反映了前六个指标（学校数、学生数和教师数方面）的信息，第二主成分主要反映了高校规模和教师中高级职称的比例，第三主成分主要反映了生均教育经费，第四主成分主要反映了国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比重。把各地区原始十个指标的标准化数据代入四个主成分的表达式，就可以得到各地区的四个主成分值。分别以四个主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型：12340.75020.15770.05360.0206Zyyyy把各地区的四个主成分值代入上式，可以得到各地区高教发展水平的综合评价值以及排序结果如表4。表4排名和综合评价结果分析：各地区高等教育发展水平存在较大的差异，高教资源的地区分布很不均衡。北京、上海、天津等地区高等教育发展水平遥遥领先，主要表现在每百万人口的学校数量和每十万人口的教师数量、学生数量以及国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比重等方面。陕西和东北三省高等教育发展水平也比高。贵州、广西、河南、安徽等地区高等教育发展水平比较落后，这些地区的高等教育发展需要政策和资金的扶持。值得一提的是西藏、新疆、甘肃等经济不发达地区的高等教育发展水平居于中上游水平，可能是由于人口等原因。