选修2-1-常用逻辑用语(全章复习专用)

第1页基础典型题归类与解析------选修2—1常用逻辑用语（全章）对某章节基础题型进行归类解析，并辅之以同类型题目进行巩固练习，不仅是老师的事，学生更要学会自己做好。当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了学数学的窍门，才能真正的做到任它千变万化，我自岿然不动。这个问题如果解决不好，在进入高二、高三以后会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。我的建议是：归类解析是将题目越做越少的最好办法。一、题型一：命题、真命题、假命题的判断1．例1：下列语句是命题的是()A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数D．今天会下雪吗解：A2、例2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.变式练习：下列命题是真命题的是()A．{∅}是空集B.{}x∈N||x－1|3是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；第2页(2)当a－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝12.(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解析：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．三、题型三：命题真假判断中求参数范围例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．解析：若p为真，则Δ＝m2－40，m0，解得m2.若q为真，则Δ＝16(m－2)2－160，解得1m3.p真，q真，即m2，1m3.故m的取值范围是(2,3)．变式练习：已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0x4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．解：命题p是真命题，则x2－2x－2≥1，∴x≥3或x≤－1，命题q是假命题，则x≤0或x≥4.∴x≥4或x≤－1.第3页四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断例5．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D.例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B例7．若“xy，则x2y2”的逆否命题是()A．若x≤y，则x2≤y2B．若xy，则x2y2C．若x2≤y2，则x≤yD．若xy，则x2y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若ab0，则3a3b0”的逆否命题；④“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．解析：①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若ab0，则3a3b0”是真命题，故其逆否命题为真命题；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集为R，则m1，假命题．第4页所以应填①②③.变式练习．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若非y，则非x，所以p是r的逆否命题．所以选B.五、题型五：问题的逆否证法例9．判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m0，∴12m0，∴12m＋40.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝2kπ＋π4时，tanx＝1，而tanx＝1得x＝kπ＋π4，所以“x＝2kπ＋π4”是“tanx＝1”成立的充分不必要条件．故选A.例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D是A的必要不充分条件第5页例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m0)⇔2－m≤x≤2＋m(m0)．因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即{x|－1≤xx|2－m≤x≤2＋m}，故有2－m≤－12＋m10或2－m－12＋m≥10，解得m≥8.所以实数m的范围为{m|m≥8}．变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－30，则x1或x－3；q：5x－6x2，即x2－5x＋60，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但pq．故选A.变式练习2已知p：12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但q⇒/p.∵p：12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤12，即0≤a≤12.∴满足条件的a的取值范围为0，12.七、充要条件的论证例13求证：0≤a45是不等式ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立的充要条件．第6页证明：充分性：∵0a45，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)0，则ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a0可变成10.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立．必要性：∵ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立，∴a＝0或a0，Δ＝a2－4a－a解得0≤a45.故0≤a＜45是不等式ax2－ax＋1－a0对一切实数x都成立的充要条件．八、命题真假值的判断例14．如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．非p为真，则p为假，∴q是真命题．变式练习：判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，非p形式的命题的真假：(1)p：负数的平方是正数，q：有理数是实数；(2)p：2≤3，q：32；(3)p：35是5的倍数，q：41是7的倍数．解：(1)p真，q真，∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，非p为假命题；(2)p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，非p为假命题；(3)p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，非p为假命题．九、命题的否定与否命题例15．命题“若ab，则2a2b”的否命题为________，命题的否定为________．解析：命题“若ab，则2a2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若ab，则2a≥2b”．变式练习1：“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．解：a＜5或b＜3a＜5且b＞3第7页变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tanx是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋50的解集是∅.解析：题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真(2)真函数y＝tanx不是周期函数假(3)真∅A假(4)真不等式x2＋3x＋50的解集不是∅假十、全称命题与特称命题相关小综合题例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0.(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.(4)∃x0∈R，使x20＋10.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵ax0(a0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋10.∴命题(4)是假命题．第8页例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－3或a2B．a≥2C．a－2D．－2a2解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有：a＋20，16－a＋a－⇔a－2，a2＋a－6