人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题

1OOOO（1）（2）（3）（4）时间时间时间时间离开家的距离离开家的距离离开家的距离离开家的距离人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题第一部分函数及其表示知识点一：函数的基本概念1、函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：Axxfy，)(。x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，y叫函数值，y的取值范围叫函数的值域。说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。③认真理解)(xfy的含义：)(xfy是一个整体，)(xf并不表示f与x的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格；2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等5、分段函数：说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。6、函数图像练习1.下列图象中表示函数图象的是（）（A）(B)(C)(D)2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．xxyy,1B．1,112xyxxyC．33,xyxyD．2)(|,|xyxy3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）B、（4）（2）（3）C、（4）（1）（3）D、（4）（1）（2）4.下列对应关系：（）①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},ABf：xx的平方根②,,ARBRf：xx的倒数③,,ARBRf：22xx④1,0,1,1,0,1,ABf：A中的数平方其中是A到B的映射的是A．①③B．②④C．③④D．②③5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重040xx克的函数，其表达式为fx＝________6.设函数101102)(2xxxxxf，则)9(f=，)15(f=7.设函数5352)(2xxxxxf，若)(xf=13，则x=。8.函数1,3,xfxx1,1,xx则4ff．9.下列各组函数是同一函数的有①3()2fxx与()2gxxx；②()fxx与2()gxx；③0()fxx与01()gxx；④2()21fxxx与2()21gttt。10.作出函数6,3,762xxxy的图象xy0xy0xy0xy02知识点二：函数定义域的求法（一）简单函数定义域1.若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；2.若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；3.若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；4.若f(x)=0x，因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。5.若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；6.若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题（二）复合函数定义域1.若已知()fx的定义域为[,]ab，其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出．2.若已知复合函数[()]fgx的定义域为[,]ab，其()fx的定义域为)(xg在[a,b]上的取值范围．练习：1.函数xxxf1)(的定义域是（）A、),1(B、)0,1(C、)1,1(D、)1,(2.函数234xxyx的定义域为（）A．[4,1]B．[4,0)C．(0,1]D．[4,0)(0,1]3.已知函数23212xxxy的定义域为（）A．]1,(B．]2,(C．]1,21()21,(D．]1,21()21,(4.函数)(xf的定义域是（0，8），则)1(2xf的定义域是（）A、（1，3）B、（-3，-1）C、（1，8）D、（1，3）∪（-3，-1）5.函数)12(xf的定义域是[1，4]，则)(xf的定义域是（）A、[3，4]B、[1，4]C、[3，9]D、[7，9]6.函数0(1)xyxx的定义域是_____________________。7.求下列函数的定义域（1）83yxx（2）11122xxxy知识点三、函数解析式的常用求法：1、换元法；2、待定系数法；3、消去法练习：1.设函数xxxf)11(，则)(xf的表达式为（）A．xx11B．11xxC．xx11D．12xx2.已知21)1(xxxf，则)(xf的解析式是3.已知xxfxf3)1(2)(，则)(xf的解析式是4.已知xxxf2)12(2，则)3(f=.5.已知f(x)满足2()()1fxfxx，求f(x)的解析式.6.若)(xf是一次函数，且满足3121217,fxfxx求fx．7.函数)(xf是二次函数，且2)0(f，1)()1(xxfxf，求)(xf的解析式。3知识点四、函数值域的常用求法：1、分离常数法；2、配方法；3、判别式法；4、换元法练习1.下列四个函数：①3yx；②211yx；③2210yxx；④(0)1(0)xxyxx.其中值域为R的函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.选用合适的方法下列函数的值域（1）234xxy（2）xxy14（3）12222xxyxx（4）22211xyx（5）3422xxy（6）xxy213.求函数246(15)yxxx，的值域4.求函数132222xxxxy的值域.第二部分函数的单调性一、知识点回顾1、概念设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．．．．；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2).2、图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法：①定义法，任取x1、x2∈D，且x1x2；作差f(x1)-f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.②图象法(从图象上看升降)；③复合函数的单调性，复合函数f\[g(x)\]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：（同增异减）函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.④常用结论。A、两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；B、一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；C、互为反函数的两个函数具有相同的单调性；4、基本初等函数的单调性.解：①正比例函数：y=kx(k≠0)当k0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.②一次函数：y=kx+b(k≠0)当k0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.③反比例函数：y=xk(k≠0)当k0时，函数y=xk的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k0时，函数y=xk的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)当a0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,ab2］，单调递增区间是［ab2,+∞)；4当a0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［ab2,+∞)，单调递增区间是(-∞,ab2］.知识点练习1．函数y＝－x2的单调减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)f(1)，则函数f(x)在区间[－1,3]上的单调性是()A．单调递增B．单调递减C．先减后增D．无法判断3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当ab时，都有f(a)f(b)，则方程f(x)＝0的根()A．有且只有一个B．可能有两个C．至多有一个D．有两个以上4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则()A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()Xkb1.com①y＝|x|；②y＝|x|x；③y＝－x2|x|；④y＝x＋x|x|.A．①②B．②③C．③④D．①④6．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个新课一网C．2个D．3个7.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于()A．－4B．－8C．8D．无法确定8.函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)9.下列四个函数：①y＝xx－1；②y＝x2＋x；③y＝－(x＋1)2；④y＝x1－x＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是()A．①B．④C．①④D．①②④10.函数y＝－bx在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．11.函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．12.函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(34)的大小关系为________．13.若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0.(1)求b与c的值；(2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．14.函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.15.（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m