函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题1、若1ln11lnxfxx，则fx_____。2、函数fx的定义域为,ab，则21fx的定义域为_____。3、若0x时，无穷小221ln1xx与2sin2xa等价，则常数a_____。4、设21lim1nnxfxnx，则fx的间断点为x_____。二、单选题1、当0x时，变量211sinxx是（）A、无穷小B、无穷大C、有界的，但不是无穷小D、无界的，也不是无穷大2、设函数bxxfxae在,上连续，且lim0xfx，则常数,ab满足（）A、0,0abB、0,0abC、0,0abD、0,0ab3、设232xxfx，则当0x时（）A、fx与x是等价无穷小B、fx与x是同阶但非等价无穷小C、fx是x的高阶无穷小D、fx是x的低阶无穷小4、设对任意的x，总有xfxgx，且lim0xgxx，则limxfx为（）A、存在且等于零B、存在但不一定等于零C、一定不存在D、不一定存在例：11,,221xxfxxgxxxx三、求下列极限1、22411limsinxxxxxx2、221212lim1xxxxx四、确定,ab的值，使322ln101tan1sin011ln01axxxxfxbxxxxxxx在,内连续。五、指出函数111xxxeefxee的间断点及其类型。六、设1234,,,aaaa为正常数，证明方程31240123aaaaxxxx有且仅有三个实根。七、设函数,fxgx在,ab上连续，且满足,fagafbgb，证明：在,ab内至少存在一点，使得fg。函数与极限测试题答案（一）一、1、11xxe；2、11,22ab；3、4；4、0；二、1—4、DCBD三、1、解：原式2211141lim3sin1xxxxxx；2、解：原式222211211211lim11xxxxxxex四、解：注意当42x时，1tanx无意义，所以不存在,ab的值使fx在,内连续。此题应把“在,内连续”改为“在0x处连续”。改后即要求0lim0xfxfb，此式等价于00limlim0xxfxfxfb，即22220002ln11121limlnlimlim211xxxxxxxxbxxxxxx3300ln11tan1sinln1limlimtansin1tan1sinxxaxxxaxxxxx3031tan1sinlim4212xaxxxabx所以1,22ab。五、解：0,1xx是此函数的间断点，因为0x时，1x，10xee，所以1101limxxxxeeeee，0x时，又因为1x，1xee，110xe，所以111100111limlim11xxxxxxxxeeeeeeee，0x是跳跃间断点。因为1111lim1xxxxeeee，1x是可去间断点。六、证明：因为12343124123231312123123axxxaxxxaxxxaxxxaaaaxxxxxxxx分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三个实根；又因为31240lim123xaaaaxxxx31241lim123xaaaaxxxx，31241lim123xaaaaxxxx31242lim123xaaaaxxxx，31242lim123xaaaaxxxx31243lim123xaaaaxxxx，所以利用零点定理，在区间0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。七、证明：在区间,ab上考虑函数Fxfxgx，由已知可得Fx在,ab上连续。0,0FafagaFbfbgb1）如果0Fa或0Fb，则可取a或b。2）如果0Fa且0Fb，由零点定理，至少存在一点,ab，使得0F即fg。