2013年浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案

12013镇海中学跨区招生数学试题卷满分：120分时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z请你按原规律补上，其顺序依次为-------------------------------------------------------------------（）①FRPJLG②HIO③NS④BCKE⑤VATYWU(A)QXZMD(B)DMQZX(C)ZXMDQ(D)QXZDM2、若121x，则式子1449612222xxxxxx等于------（）（A）－4x＋3（B）5（C）2x＋3（D）4x＋33、若不论k取什么实数，关于x的方程1632bkxakx（a、b是常数）的根总是x＝1，则a+b=---------------------------------------------------------------------------------------------------------（）（A）21（B）23（C）21（D）234、若mmm20082007，则22007m---------------------------------------（）（A）2007（B）2008（C）20082（D）-200825、方程07946yxxy的整数解的个数为-------------------------------------------（）（A）1（B）2（C）3（D）46、在平面直角坐标系中有两点A(–2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有----------------------------------------------------------------------------（）(A)1个(B)2个(C)4个(D)6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m、n，得到一个点P(m,n)，则点P既在直线6xy上，又在双曲线xy8上的概率为------()(A)61(B)91(C)181(D)3618、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论：①0b，②0c，③042acb，④0cba，⑤024cba.其中正确的有---------------------------------------------------------------（）(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------()(A)2)21((B)251(C)253(D)253710．二次函数267yxx，当x取值为2txt时有最大值2(3)2yt，则t的取值范围为（）（A）t≤0（B）0≤t≤3（C）t≥３（D）以上都不对．第9题图xyo1x2FEDCBAMBCDA二、填空题（每题6分，共30分）11、已知关于x的不等式mx-2≤0的负整数解只有-1,-2，则m的取值范围是_____.12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x、y、z，则zyx111的值为_______________.13、如图，△OAP、△ABQ是等腰直角三角形，点P、Q在双曲线)0(4xxy上，直角顶点A、B均在x轴上，则点Q的坐标为_______________.第11题图第13题图14、若关于x、y的方程组222111cybxacybxa的解为65yx，则方程组222111435435cybxacybxa的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走______个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．17、（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD内接于一圆，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM3（图1）（图2）OMNQPHKFEDCBAABCDPEFGoyx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001xy的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？②这种情况下，直接写出下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？19、(本题满分13分)如图，直线AD对应的函数关系式为1xy，与抛物线交于点A(在x轴上)、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3,0）,抛物线与y轴交点C（0,-3）,；(1)求抛物线的解析式；(2)P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；(4)点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．20、(本题满分10分)一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．4答案1.D；2.B；3.C；4.B；5.A；6.D；7.C；8.C；9.B；10.C；11.首先解不等式mx-2≤O，不等式的解可以利用m表示，根据不等式的负整数解只有-1，-2，即可得到关于m的不等式组，即可求得m的范围．解不等式mx-2≤0移项得：mx≤2根据不等式只有两个负整数解-1，-2．则m＜0一定成立．则不等式的解集是：x≥2m根据题意得：-3＜2m≤-2，且m＜0解得：－1≤m＜－23．12.由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：(x－2)×180x+(y－2)×180y+(z－2)×180z=360，两边都除以180得：1－2x+1－2y+1－2z=2，两边都除以2得，zyx111=12．13.∵△OAP是等腰直角三角形，∴PA=OA，∴设P点的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=2，∴P的坐标是（2，2），∴OA=2，∵△ABQ是等腰直角三角形，∴BQ=AB，∴可以设Q的纵坐标是b，∴横坐标是b+2，把Q的坐标代入解析式y=4x，得到b=4b＋2，∴b=-1+5，（b=-1-5舍去）∴点B的坐标为（5+1，0）．故答案为：（5+1，0）．14.解：5a1x＋3b1y＝4c1，5a2x＋3b2y＝4c2变形为a1×5x4＋b1×3y4＝c1，a2×5x4＋b2×3y4＝c2a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2的解是x＝5，y＝6，比较发现5x4＝5，3y4＝6解得x＝4，y＝8515.解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．16.∵△BCE沿折痕EC向上翻折，点F恰好落在AD边上，∴EF=EB，CF=CB，设BE=5x，则AE=3x，AB=CD=8x，在Rt△AEF中，AF=(5x)2－(3x)2=4x，设BC=t，则CF=AD=t，∴DF=t-4x，在Rt△DFC中，t2=（t-4x）2+（8x）2，解得t=10x，在Rt△BCE中，（5x）2+（10x）2=（155）2，解得x=3，∴AB=8x=24，BC=10x=30.17.证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME=MC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵AB=BD，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BEC=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，而∠BAE=∠BDC，所以△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=DC+CM．18.解：（1）以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系。当电缆最低点离水平地面距离为6米时，抛物线的顶点坐标为（40，6）此时，抛物线的解析式为y＝1100(x－40)2＋6令x=0则y=22∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度。（2）①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系。设此时抛物线解析式为y＝1100x2＋bx＋c易知：E（0,20）F（50,30），代入解析式可求得b＝－310，c＝20.∴y＝1100x2－310x＋206易求得斜坡所在直线的解析式为：y=15x设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于N。则：MN=1100m2－310m＋20－15m＝1100(m－25)2＋13.75∴当m=25时，MN的最小值为13．75即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13．75米。②22米19.解：（1）令y=0，则-x-1=0，解得x=-1，所以，点A的坐标为（-1，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，-3）在抛物线上，∴a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝－3；，解得a＝1，b＝－2，c＝－3；，所以，抛物线解析式为y=x2-2x-3；（2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，∴设点P（x，-x-1），则点E的坐标为（x，x2-2x-3），PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x-1-x2+2x+3=-x2+x+2，=-（x-12）2+94，联立y＝－x－1，y＝x2－2x－3，解得x1＝－1，y1＝0，x2＝2，y2＝－3，所以，点D的坐标为（2，-3），∵P是线段AD上的一个动点，∴-1＜x＜2，∴当x=12时，PE有最大值，最大值为94；（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴点F的坐标为（1，-4），点G的横坐标为1，y=-1-1=-2，∴点G的坐标为（-1，-2），∴GF=-2-（-4）=-2+4=2，∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE=GF，∴-x2+x+2=2，解得x1=0，x2=1（舍去），此时，y=-1，∴点P的坐标为（0，-1），故，存在点P（0，-1），使得四边形GFEP为平行四边形；（4）存在．理由如下：①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，∴HD∥AQ，∴点H的纵坐标与点D相同，是-3，此时，x2-2x-3=-3，整理得，x2-2x=0，解得x1=0，x