高中数学题库——双曲线

（2017黑龙江大庆中学高二期中）12．已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，则的取值范围（）A．B．（﹣1，0）C．（﹣2，+∞）D．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】令f（x）=x2+（a+1）x+a+b+1，由于关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，可得f（0）＞0，f（1）＜0，再利用线性规划的有关知识即可得出．【解答】解：令f（x）=x2+（a+1）x+a+b+1，∵关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，∴x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴a+b+1＞0，1+a+1+a+b+1＜0，即a+2b+1＞0，2a+b+3＜0，设=k，即b=ka，联立，解得P（﹣2，1）．∴﹣1＜k＜﹣，故选：A．（2017山西晋中高二期中联考）12．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=2b，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，不妨设|PF1|2+|PF2|2=m，|PF1|•|PF2|=n，上式为：m﹣2n=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=4c2，②即m﹣n=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||•||•cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=36b2，即m+n=36b2，③由②+③得：2m=4c2+36b2，①+③×2得：3m=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，3c2=2a2+9b2=2a2+9c2﹣9a2，∴=，∴e==．故选：D．（2017山东济南一中高二期中）7．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2+=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程判断即可．【解答】解：对于A，方程是椭圆，没有渐近线．不正确；对于B，双曲线的渐近线方程为：y=，不正确；对于C，双曲线的渐近线方程为：y=±2x，正确；对于D，双曲线的渐近线方程为：y=，不正确；故选：C．（2017湖北宜昌长阳二中高二期中）7．设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，知，再由b2=c2﹣a2能导出2，从而能得到该双曲线的离心率．【解答】解：由题设知，令x=±c，得y=±，∴，即，∴，∴，∴2，解得e=，或e=﹣（舍）．故选B．（2017四川成都期中实验中学高二期中）14．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C1的离心率【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，由双曲线C2：x2﹣y2=4的标准方程，则|PF1|﹣|PF2|=4，c=2∵|PF2|=2，∴|PF1|=6，∴2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，c=2，∴椭圆C1的离心率为e==，故答案为：．（2017山东济南一中高二期中）4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．（2017浙江9+1联盟高二期中）15．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，由tan∠F1F2P=可得cos∠F1F2P==，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠F1F2P，即有9a2=a2+4c2﹣2a•2c•，化简可得，c2=3a2，则双曲线的离心率e==．故答案为：．（2017辽宁葫芦岛一中高二期中）11．如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1、F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A．2B．C．2D．1【考点】KC：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式和解直角三角形的有关知识，化简计算即可得到．【解答】解：由椭圆的定义，可得，AF1+AF2=2a1，由双曲线的定义，可得，AF1﹣AF2=2a2，在直角△AF1F2中，∠AF1F2=30°，则AF2=F1F2=c，AF1=F1F2=c，则有2a1=（+1）c，2a2=（﹣1）c，则离心率e1==，e2==，即有==．故选B．（2017江西景德镇一中高二期中）4．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．（2017四川成都外国语学校高二期中）11．过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|为（）A．1B．2C．3D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，算出c=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则MO是△PFF′的中位线，∴|MO|=|PF′|，|MT|=|PF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，∵PF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|=4，∴|MO|﹣|MT|=|PF′|﹣（|PF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=4﹣a=1故答案为：1．【点评】本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．（2017江西景德镇一中高二期中）8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上的一点，若|AF1|=2|AF2|，则cos∠F1AF2=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合余弦定理进行转化求解即可．【解答】解：∵|AF1|=2|AF2|，∴点A在双曲线的右支上，∵|AF1|﹣|AF2|=2|AF2|﹣|AF2|=|AF2|=2a，∴|AF1|=4a，∵双曲线的离心率为，∴e=，则cos∠F1AF2====﹣•=﹣•e2=﹣×3=，故选：D（2017河南新乡高二期末下）7．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2B．2C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程可知丨k丨=，根据两平行线之间的距离公式，即可求得k的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意可知：直线l：kx+y﹣k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=﹣kx，∴丨k丨=，由这两条平行线间的距离为，即=，整理k2=8，解得：k=±2，即=k2=8，由双曲线的离心率e===3，∴双曲线C的离心率3，故选D．（2017陕西宜春高二期末下）11．设P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆（x+4）2+y2=4和（x﹣4）2+y2=1上的点，设|PM|﹣|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m﹣n|=（）A．4B．5C．6D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PF1|﹣|PF2|=2是定值，|PM|=|PF1|+r1，|PN|=（|PF2|﹣r2），所以|PM|﹣|PN|的最大值2a+r1+r2=5，|PM|=|PF1|﹣r1，|PN|=（|PF2|+r2），所以|PM|﹣|PN|的最小值：2a﹣r1﹣r2=﹣1．可得m=5，n=﹣1，则|m﹣n|=6．故选：C．（2017河南平顶山高二期末下）8．设F1和F2为双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．1B．C．2D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故选A（2017河南洛阳高二期末下）3．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．（2017贵州遵义高二期末下）16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（x0，）为双曲线上一点，若△PF1F2的内切圆半径为1，且圆心G到原点O的距离为，则双曲线的离心率是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设