高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》

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1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3空间几何体的表面积与体积问题提出t57301p21.对于空间几何体,我们分别从结构特征和视图两个方面进行了研究,为了度量一个几何体的大小,我们还须进一步学习几何体的表面积和体积.2.柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体,研究空间几何体的表面积和体积,应以柱、锥、台、球的表面积和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢?知识探究(一)柱体、锥体、台体的表面积思考1:面积是相对于平面图形而言的,体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗?面积:平面图形所占平面的大小体积:几何体所占空间的大小思考2:所谓表面积,是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,侧面都是曲面,怎样求它们的侧面面积?思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的表面积公式是什么?2()Srrl思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么圆锥的表面积公式是什么?()Srrl思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r,母线长为l,那么圆台的表面积公式是什么?22()Srrrlrl思考7:在圆台的表面积公式中,若r′=r,r′=0,则公式分别变形为什么?22()Srrrlrl()Srrl2()Srrlr′=rr′=0知识探究(二)柱体、锥体、台体的体积思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗?它们可以统一为一个什么公式?思考2:推广到一般的棱柱和圆柱,你猜想柱体的体积公式是什么?VSh高h底面积S思考3:关于体积有如下几个原理:(1)相同的几何体的体积相等;(2)一个几何体的体积等于它的各部分体积之和;(3)等底面积等高的两个同类几何体的体积相等;(4)体积相等的两个几何体叫做等积体.将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系?123123思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,你猜想锥体的体积公式是什么?13VSh高h底面积S思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计算台体的体积?设台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,那么台体的体积公式是什么?高h下底面积S1()3VSSSSh上底面积S′思考6:在台体的体积公式中,若S′=S,S′=0,则公式分别变形为什么?S′=SS′=01()3VSSSSh13VShVSh理论迁移例1求各棱长都为a的四面体的表面积.23Sa例2一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm,为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(精确到1毫升)?2015152210000.1Scmm例3有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已知螺帽的底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个?V≈2956(mm3)=2.956(cm3)5.8×100÷7.8×2.956≈252(个)作业:P28习题1.3A组:1,2,3,4,5.1.3.2球的表面积和体积1.3空间几何体的表面积与体积问题提出1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么?圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么?2.球是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.知识探究(一):球的体积思考1:从球的结构特征分析,球的大小由哪个量所确定?思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么?3VR柱313VR锥思考3:如图,对一个半径为R的半球,其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系?思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你猜想半球的体积是什么?323VR球思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的体积,这是一个正确的结论,你能提出一些证明思路吗?343VR知识探究(二):球的表面积思考1:半径为r的圆面积公式是什么?它是怎样得出来的?2rS圆a1a2a3ana4思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”,它们的面积之和等于什么?o思考3:以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么?它们的体积之和近似地等于什么?oo思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗?24SR思考5:经过球心的截面圆面积是什么?它与球的表面积有什么关系?球的表面积等于球的大圆面积的4倍理论迁移例1如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.23例2已知正方体的八个顶点都在球O的球面上,且正方体的表面积为a2,求球O的表面积和体积.例3有一种空心钢球,质量为142g(钢的密度为7.9g/cm3),测得其外径为5cm,求它的内径(精确到0.1cm).oAC′例4已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6,AB=4,球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半,求这个球的表面积和体积.ABCOM36,54,2762RSV作业:P28练习:1,2,3.

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