上海高二数学解析几何经典例题

第1页共12页上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程1、已知反比例函数xy1的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）设1A、2A为双曲线C的两个顶点，点),(00yxM、),(00xyN是双曲线C上不同的两个动点．求直线MA1与NA2交点的轨迹E的方程；（3）设直线l过点)4,0(P，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当QBQAPQ21，且821时，求点Q的坐标．第2页共12页面积2、在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点)0,1(F的距离与P到定直线4x的距离之比为21．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点)0,(mM（20m）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为1A、1B，且直线OA、OB的斜率之积等于43，问四边形11BABA的面积S是否为定值？请说明理由．第3页共12页定点3、动点P与点(0,1)F的距离和它到直线:l1y的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设点0,(Aaa2),动点T在曲线C上运动时，AT的最短距离为1a，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；(3)设21,PP为曲线C的任意两点，满足21OPOP(O为原点)，试问直线21PP是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．第4页共12页定值4、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为1,0F，且点3(1,)2P在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆22122:153xyCab上异于其顶点的任意一点Q作圆224:3Oxy的两条切线，切点分别为,(,MNMN不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为,,mn证明：22113mn为定值；（3）若12,PP是椭圆222223:1xyCab上不同的两点，12PPx轴，圆E过12,,PP且椭圆2C上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆2C是否存在过左焦点1F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．第5页共12页新定义5、曲线C是平面内到直线1:1lx和直线2:1ly的距离之积等于常数2(0)kk的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程(,)0fxy．（1）求曲线C的方程(,)0fxy；（2）定义：若存在圆M使得曲线(,)0fxy上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线(,)0fxy的收敛圆．判断曲线(,)0fxy是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．第6页共12页轨迹方程1、已知反比例函数xy1的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；（2）设1A、2A为双曲线C的两个顶点，点),(00yxM、),(00xyN是双曲线C上不同的两个动点．求直线MA1与NA2交点的轨迹E的方程；（3）设直线l过点)4,0(P，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当QBQAPQ21，且821时，求点Q的坐标．解：（1）顶点：)1,1(1A、)1,1(2A，焦点：)2,2(1F、)2,2(2F为焦点（2）解一：MA1：)1(11100xxyy，NA2：)1(11100xyxy--------------2分两式相乘，得)1(11111200002xyxxyy．将001xy代入上式，得)1(122xy，即222yx．即直线MA1与NA2交点的轨迹E的方程为222yx（1x）．--------------------1分解二：联立直线方程，解得.2,200yxxyyyxyxx001xy，即122yxxyyxyx，化简，得222yx．所以，直线MA1与NA2交点的轨迹E的方程为222yx（1x）．（3）直线l斜率不存在或为0时显然不满足条件；设直线l：4kxy，),(11yxA，),(22yxB，则)0,4(kQ将4kxy代入xy1，得0142xkx，kxx421，kxx121．QBQAPQ21，222111,4,44,4ykxykxk，844442121kxkx，即)4)(4(28)(2121kxkxxxk，解得2k，)0,2(Q．解二：将kyx4代入xy1，得042kyy，421yy，kyy21QBQAPQ21222111,4,44,4ykxykxk22114yy，114y，224y．又821，21121yy，即21212yyyy．2)(24kk，)0,2(Q．第7页共12页面积2、在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点)0,1(F的距离与P到定直线4x的距离之比为21．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点)0,(mM（20m）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为1A、1B，且直线OA、OB的斜率之积等于43，问四边形11BABA的面积S是否为定值？请说明理由．（1）设),(yxP，由题意，21|4|)1(22xyx，化简得124322yx，所以，动点P的轨迹C的方程为13422yx．（2）设),(yxN，则3241413)()(||2222222mmxxxmxymxMN)1(3)4(4122mmx，22x．①当240m，即210m时，当mx4时，2||MN取最小值1)1(32m，解得322m，36m，此时2364x，故舍去．②当24m，即221m时，当2x时，2||MN取最小值1442mm，解得1m，或3m（舍）．综上，1m．（3）解法一：设),(11yxA，),(22yxB，则由43OBOAkk，得432121xxyy，（1分）221221)()(||yyxxAB，因为点A、B在椭圆C上，所以4132121xy，4132222xy，所以，22212221169yyxx)4)(4(92221xx，化简得42221xx．①当21xx时，则四边形11BABA为矩形，12yy，则432121xy，由4132121xy，得413432121xx，解得221x，2321y，||||4||||111yxBAABS34．②当21xx时，直线AB的方向向量为),(1212yyxxd，直线AB的方程为第8页共12页0)()(21121212yxyxyxxxyy，原点O到直线AB的距离为2122121221)()(||yyxxyxyxd所以，△AOB的面积||21||211221yxyxdABSAOB，根据椭圆的对称性，四边形11BABA的面积AOBSS4||21221yxyx，所以，)2(4)(4212221212221212212yxyyxxyxyxyxS48)(124132341342221212222212221xxxxxxxx，所以34S．所以，四边形11BABA的面积为定值34．解法二：设),(11yxA，),(22yxB，则),(111yxA，),(221yxB，由43OBOAkk，得432121xxyy，因为点A、B在椭圆C上，所以4132121xy，4132222xy，所以，22212221169yyxx)4)(4(92221xx，化简得42221xx．直线OA的方程为011yxxy，点B到直线OA的距离21211221||yxyxyxd，△1ABA的面积||||21122111yxyxdAASABA，根据椭圆的对称性，四边形11BABA的面积12ABASS||21221yxyx，所以，)2(4)(4212221212221212212yxyyxxyxyxyxS48)(124132341342221212222212221xxxxxxxx，所以34S．解法三：设),(11yxA，),(22yxB，则),(111yxA，),(221yxB由43OBOAkk，得432121xxyy，因为点A、B在椭圆C上，所以4132121xy，4132222xy，所以，22212221169yyxx)4)(4(92221xx，化简得42221xx．△1ABA的面积111211112111yxyxyxSABA||1221yxyx，根据椭圆的对称性，四边形11BABA的面积12ABASS||21221yxyx，所以，所以，)2(4)(4212221212221212212yxyyxxyxyxyxS48)(124132341342221212222212221xxxxxxxx，所以34S．第9页共12页定点3、动点P与点(0,1)F的距离和它到直线:l1y的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设点0,(Aaa2),动点T在曲线C上运动时，AT的最短距离为1a，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；(3)设21,PP为曲线C的任意两点，满足21OPOP(O为原点)，试问直线21PP是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．(1)根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹是抛物线所以曲线C的方程为x2=4y；(2)设点T(x0,y0),x02=4y0(y0≥0)，|AT|=2020)()0(ayx=44)]2([20aay，a–20，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为21a，21a=a–1,a2–6a+5=0，a=5或a=1(舍去)，所以y0=a–2=3，x0=23，所以T坐标为(23,3)；(3)显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，k1，yxkxy42，解之得P1(k4,24k)，同理P2(–4k,4k2)，直线P1P2的斜率为kk21，直线P1P2方程为：)4(1422kxkkky整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直线P1P2恒过点(0,4)………………………………16分第10页共12页定值4、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为1,0F，且点3(1,)2P在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆22122:153xyCab上异于其顶点的任意一点Q作圆224:3Oxy的两条切线，切点分别为,(,MNMN不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为,,mn证明：22113mn为定值；（3）若12,PP是椭圆222223:1xyCab上不同的两点，12PPx轴，圆E过12,,PP且椭圆2C上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆2C是否