知识讲解-充分条件与必要条件(经典)

充分条件与必要条件编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号pq与pq的含义“若p，则q”为真命题，记作：pq；“若p，则q”为假命题，记作：pq.充分条件、必要条件与充要条件①若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.②如果既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件.要点诠释：对pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.①“若p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；②若pq，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；③若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件；④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；③若A=B，则p、q互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p，则q”①如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若q，则p”为真命题；②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若p，则q”为真命题；③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p:(2)(3)0xx，q:2x；(2)p:0c，q:抛物线2yaxbxc过原点(3)p:一个四边形是矩形，q:四边形的邻边相等【解析】(1)∵p:2x或3x,q:2x∴pq且qp,∴p是q的必要不充分条件；(2)∵pq且qp,∴p是q的充要条件；(3)∵pq且qp，∴p是q的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？（1）p：AB，q：A和B是对顶角.（2）:1px，2:1qx；【答案】（1）∵pq且qp，∴p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.（2）∵2:111qxxx或∴211xx，但211xx，∴p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.（1）p:0a且0b,q:0ab（2）p:1yx,q:xy.【答案】（1）p是q的充分不必要条件.∵0a且0b时，0ab成立；反之，当0ab时，只要求a、b同号即可.∴必要性不成立.（2）p是q的既不充分也不必要条件∵1yx在0y的条件下才有xy成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p：0x3，q：|x-1|2，则p是q的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】q：|x-1|2，解得-1x3，亦即q：-1x3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ，pq，但qp，所以选择（A）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设xR，则条件“2x”的一个必要不充分条件为（）XO3-112PQA.1xB.1xC.3xD.3x【答案】A【变式2】（2015天津文）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】由|x－2|＜1－1＜x－2＜1－1＜x＜3，可知“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】(2015福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或lα；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选B．类型二：充要条件的探求与证明例3.设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用AB与BA；BA与AB；AB与AB的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a,b,c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac0，则Δ=b2-4ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1,x2,∵ac0,∴x1·x2=ac0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x10,x20，则x1·x2=ac0，∴ac0综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440aaa；若方程有两个负的实根，则必须满足102001440aaaa综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4.已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要条件，∴pq，即AB，可知A或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a2－40或01224210110aaa，得－2≤a≤2.【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p：1－cx1＋c(c0)，命题q：x7或x－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．【答案】0c≤2【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－cx1＋c，c0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x7或x－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以AB或A不是B的子集且B不是A的子集，所以1117cc，①或1117cc，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c0，综上所述得0c≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3xpqxxmm若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.【答案】9m【解析】由22210(0)xxmm解得11mxm又由1|1|23x解得210xp是q的充分不必要条件，所以012,110mmm或012,110mmm解得9m