2014高考数学难点大调查09指数函数、对数函数问题

难点9指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f(x)=log2xx11,F(x)=x21+f(x).(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)1nn;(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以228118loglogxxxx,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=2loglog818x=2logloglog,log38282218xxx3log8x2,所以OC的斜率：k1=118212log3logxxxx,OD的斜率：k2=228222log3logxxxx，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=31log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x11,∴x1=3,则点A的坐标为(3，log83).［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(10a)x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：an=n+21,∴bn=2000(10a)21n.(2)∵函数y=2000(10a)x(0a10)递减，∴对每个自然数n,有bnbn+1bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即(10a)2+(10a)－10,解得a－5(1+2)或a5(5－1).∴5(5－1)a10.(3)∵5(5－1)a10,∴a=7∴bn=2000(107)21n.数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，BnBn－1,当bn1时，Bn≤Bn－1,因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+11,由bn=2000(107)21n≥1得：n≤20.8.∴n=20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么()A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)B.g(x)=21［lg(10x+1)+x］,h(x)=21［lg(10x+1)－x］C.g(x)=2x,h(x)=lg(10x+1)－2xD.g(x)=－2x,h(x)=lg(10x+1)+2x2.(★★★★)当a1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f(x)=)02()(log)0(22xxxx.则f-－1(x－1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a.三、解答题5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断21［f(x1)+f(x2)］与f(221xx)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log21x)2+9(log21x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log22x)(log28x)的最大、最小值.参考答案难点磁场解：(1)由xx110,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则F(x2)－F(x1)=(122121xx)+(11222211log11logxxxx))1)(1()1)(1(log)2)(2(212122112xxxxxxxx,∵x2－x10,2－x10,2－x20,∴上式第2项中对数的真数大于1.因此F(x2)－F(x1)0,F(x2)F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y=f(x)=xx11log2得：2y=1212,11yyxxx,∴f－1(x)=1212xx,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.当n≥3时，f-1(n)1221111221112121nnnnnnnnnn.用数学归纳法易证2n2n+1(n≥3),证略.(3)证明：∵F(0)=21,∴F－1(21)=0,∴x=21是F－1(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠21),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠21).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)①又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1)②由①②得：g(x)=2x,h(x)=lg(10x+1)－2x.答案：C2.解析：当a1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a1时，y=(1－a)x为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f-－1(x)=)1(2)1(log2xxxx,从而：f－1(x－1)=).2(,2)2(),1(log12xxxx答案：)2(,2)2(),1(log12xxxx4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=51ln2.设再过t分钟桶1中的水只有8a,则y1=ae－n(5+t)=8a,解得t=10.答案：10三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=logaax21,∴g(x)=logaax1.(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+20;ax1=aa)3(10,又a0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－logaax1|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+22a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组1)44(log1)69(log10aaaaa的解.由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤12579,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤54,∴所求a的取值范围是0＜a≤12579.6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(221xx)2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，当a1时，有logax1x2≤loga(221xx)2,∴21logax1x2≤loga(221xx)，21(logax1+logax2)≤loga221xx,即21[f(x1)+f(x2)］≤f(221xx)(当且仅当x1=x2时取“=”号)当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga(221xx)2,∴21(logax1+logax2)≥loga221xx,即21［f(x1)+f(x2)］≥f(221xx)(当且仅当x1=x2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.(1)当u≥0,v≥0时，即a1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k≤2(1+2);(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－2)≤k≤1－3.x综上，当a1时，logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21logx)2+9(21logx)+9≤0∴(221logx+3)(21logx+3)≤0.∴－3≤21logx≤－23.即21log(21)－3≤21logx≤21log(21)23∴(21)23≤x≤(21)－3,∴22≤x≤8即M={x|x∈［22,