高一数学--不等式性质

学习目标1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；3．强调数形结合思想.我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数a,点B表示实数b.点B在点A右边,所以abAB它也表示b-a0aba-b0a=ba-b=0aba-b0由此可见,要比较两个数的大小,就只要比较它们的差与0的大小.实数的大小和运算性质之间的关系:1、比较两个数大小的方法：作差比较法2、例题讲解例1、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。解:∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-70∴(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)例2、已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小解：∵(x2+1)2-（x4+x2+1）=(x4+2x2+1）-（x4+x2+1）=x2又∵x≠0∴x2＞0∴(x2+1)2＞x4+x2+1例3．比较a2+b2+3与2(a-b)的大小。解：a2+b2+3-2(a-b)=(a2-2a)+(b2+2b)+3=(a-1)2+(b+1)2+10，∴a2+b2+32(a-b)．小结作差后常进行配方，以便于判断符号例4、已知xy且y≠0，比较x/y与1的大小。解：∵-1=∵xy,∴x-y0当y0时，0，即-10∴1当y0时，0，即-10∴1yyxyxyyxyxyyxyxyxyx2．和abmamb),,(Rmba练习：1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。2、如果x0，比较(-1)2与(+1)2的大小。3、已知a≠0，比较(a2+a+1)(a2-a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小。xx221、要比较大小的两个代数式如果是多项式或分式、根式、对数式时，一般用作差比较法，其步骤是：作差、变形（分解因式、通分、配方等）、判断符号、作出结论。2、当要比较大小的两个代数式是指数的形式时，一般用作商比较法，其步骤是：作商、变形、判断商是大于还是小于1、作出结论。3、字母式子的大小比较，若是出在选择、填空题中，还可用特殊值法判定。四、不等式的性质1．性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）证明:由正数的相反数是负数,得即abbabaababba0)(ba0ba0ab2．性质2：如果，那么（传递性）证明:根据两个正数的和仍是正数,得即bacacb由对称性、性质2可以表示为如果且那么bcabaccbba,,0ba0cb,0)()(cbba,0ca.ca小结：反对称性定理abba.1传递性定理cacbba,.2nnaaaaaa13221,,:推广naa11．定理3：如果那么（加法单调性）反之亦然bacbca证:∵∴从而可得移项法则：0)()(bacbcacbcabcabcbbacba)()(推论：如果且，那么（相加法则）证：badcdbcadbcadbcbdccbcabannbababa,,:2211推广nnbbbaaa2121推论：如果且，那么（相减法则）证：∵∴或证：上式0badcdbcadcdcdbcadcba)()()()(dcbadbcadcba00dcba2定理4：如果且,那么如果且那么（乘法单调性）ba0cbcacba0cbcac证：∵∴根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：cbabcac)(ba0ba0c0)(cbabcac0c0)(cbabcac•推论1如果ab0，且cd0，那么acbd•推论2如果ab0，那么,（nN且n1）定理5如果ab0那么（nN且n1）nnbananbnanb•例4已知ab0，c0,求证证明:ab0,两边同乘以正数得即又acbcab1,11abba110cbcac