利用基本不等式求最值的技巧

-1-利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．在运用基本不等式abba222与2baab或其变式解题时,要注意如下技巧1：配系数【例1】已知230x，求)23(xxy的最大值.2:添加项【例2】已知23x，求322xxy的最小值.3:分拆项【例3】已知2x，求2632xxxy的最小值.-2-4:巧用”1”代换【例4】已知正数yx,满足12yx,求yx21的最小值.一般地有,2)())((bdacydxcbyax,其中dcbayx,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.【例5】已知正数zyx,,满足1zyx，求zyx941的最小值.5:换元【例6】已知cba,求cbcabacaw的最小值.【例7】已知1x,求8512xxxy的最大值.-3-6:利用对称性【例8】已知正数zyx,,满足1zyx，求121212zyx的最大值.【分析】由于条件式1zyx与结论式121212zyx都是关于正数zyx,,轮换对称的,故最大值必然是当31zyx时取到,这时35121212zyx,从而得到下面证明思路与方向【解】利用基本不等式baab2得351235)12(2xx,351235)12(2yy,351235)12(2zz,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2zyxzyx,所以化简得15121212zyx,所以当且仅当31zyx时121212zyx取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例9】已知正数ba,满足3baab,求ab的取值范围.-4-含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x不等式2(1)410()mxxmR分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+10及m+10来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m－1时，⊿=4（3－m）0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410xx的根。⑷当m3时，⊿=4（3－m）0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。解：11,|;4mxx当时原不等式的解集为132132|,31132132|1);34014)1(12mmxmmxmmmxmmxxmmxxmm原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为21|xx；当m3时,原不等式的解集为。小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式)0(,04)1(22axaax-5-思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例2：解关于x的不等式0212xxax分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax当a=0时，原不等式等价于0)1)(2(xx解得21x，此时原不等式得解集为{x|21x}；当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax,则：当,21时a原不等式的解集为21|xxx且；当0,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当,21时a原不等式的解集为211|xaxx或；当a0时,原不等式等价于0)1)(2)(1(xxax，则当1a时,原不等式的解集为12|xxx且；当01a时,原不等式的解集为211|xaxx或；当1a时,原不等式的解集为211|xaxx或；小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a=0的情况以及对a1，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。-6-牛刀小试：解关于x的不等式)1(,12)1(axxa思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a分两级讨论：先按a1和a1分为两类，再在a1的情况下，又要按两根12aa与2的大小关系分为100,0aaa和三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三、含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式)0,0(,|2|babxax分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxf或，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a、b两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：2)(2)(22|2|xbaxbabxaxbxaxbxax或或当0ba时，2)(2)(xbaxba或baxbax22或此时原不等式的解集为baxbaxx22|或；当0ba时，由无解而得2)(,22)(xbabaxxba，此时原不等式的解集为baxx2|；当ba0时，2)(2)(xbaxba或baxbaxbax222或此时此时原不等式的解集为baxx2|；综上所述，当0ba时，原不等式的解集为baxbaxx22|或；当0ab时，原不等式的解集为baxx2|。小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：)0()0({||aaaaa②平方法：|)(||)(|xgxf)()(22xgxf③利用同解变形：);0(,||);0(,||aaxaxaxaaxaax或-7-);()()()(|)(|xgxfxgxgxf)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxf或；牛刀小试：（2004年辽宁省高考题）解关于x的不等式)(,01|1|Raax思路点拨：⑴将原不等式化为ax1|1|然后对a进行分类讨论求解。⑵要注意的解集为时axa||,0空集；;||0;0||0Raxaxaxa的解集为时，的解时，⑶抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体解答请同学们自己完成。