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第三章勾股定理单元测试一.单选题（共10题；共30分）1.如图，小方格的面积是1，图中以格点为端点且长度为5的线段有()A.5条B.4条C.3条D.2条2.Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为()A.121B.120C.132D.不能确定3.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A.1B.C.D.24.下列说法中正确的是（）A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c25.如图所示，一只蚂蚁在正方体的一个顶点A处，它能爬到顶点B处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为（）A.8B.+1C.D.6.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+=0，则三角形的形状是（）A.底与腰不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形7.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm8.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A.cmB.4cmC.cmD.3cm10.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A.1，，B.3，4，5C.5，12，13D.2，2，3二.填空题（共8题；共27分）11.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ=________，△PQR的周长等于________．12.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是________三角形（直角、锐角、钝角）．13.一个直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，则这个直角三角形斜边上的高为________cm．14.观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是________（只填数，不填等式）15.如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为________．16.如图，正方形ABCD的边长为13，以CD为斜边向外作Rt△CDE，若点A到CE的距离为17，则CE=________．17.在Rt△ABC中，∠C=90°，且2a=3b，c=2，则a=________，b=________．18.如图，m=________，n=________．三.解答题（共5题；共35分）19.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数.（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．20.小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？21.若a、b、c为△ABC三边长，且a、b、c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|=0，△ABC是直角三角形吗？请说明理由．22.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东30°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东60°的方向以每小时6海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到N岛，求M岛到N岛的距离．23.在如图所示的四边形ABCD中，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，AD⊥CD，求这个四边形ABCD的面积．四.综合题（共10分）24.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：(1)（I）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为，且点B在格点上；（II）以上题中所画线段AB为一边，另外两条边长分别是3，2，画一个三角形ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；(2)所画的三角形ABC的AB边上高线长为________（直接写出答案）答案解析部分一.单选题1.【答案】B【考点】勾股数【解析】【分析】此题只需根据常见的勾股数3、4、5，构造以3、4为直角边的直角三角形即可．【解答】如图所示，共4条．故选B．【点评】考查了勾股数的运用2.【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】设另一直角边为x，斜边为y，根据勾股定理列方程，求得x，y的值，从而不难求得其周长。【解答】设另一直角边为x，斜边为y．根据勾股定理得：y2=x2+121，即y2-x2=121，（y+x)（y-x)=121=121×1，∵x，y为自然数，∴x+y=121，y-x=1，∴x=60，y=61，∴周长为：11+61+60=132．故选C．【点评】解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系。3.【答案】D【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC=AD=AE=故选D．【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．4.【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选C．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．5.【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：将正方体展开，如图所示：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，∴AB=，故选C．【分析】先把正方体展开，连接AB，再根据勾股定理求出AB的值即可．6.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵（a﹣6）2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，又∵（a﹣b）2+=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，解得：a=6，b=8，c=10，∵62+82=36+64=100=102，∴是直角三角形．故选D．【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．7.【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．故选：D．【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．8.【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC为梯子的长度，可知△BAC为Rt△，有AC===5（m）．故选：D．【分析】如下图所示，AB=4m，BC为梯子底端到建筑物的距离，有BC=3m，AC为梯子的长度，可知△ABC为Rt△，利用勾股定理即可得出AC的长度．9.【答案】A【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵SA=6×6=36cm2，SB=5×5=25cm2，SC=5×5=25cm2，又∵SA+SB+SC+SD=10×10，∴36+25+25+SD=100，∴SD=14，∴正方形D的边长为cm．故选：A．【分析】先求出SA、SB、SC的值，再根据勾股定理的几何意义求出D的面积，从而求出正方形D的边长．10.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、12+（）2=3=（）2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D．【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．二.填空题11.【答案】7+23；27+133【考点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=AB•cos30°=4×32=23．则QH=HA=HG=AC=23．在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=23×32=3．AM=HA•cos60°=3．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=23+3+4=7+23．∴QP=2QR=14+43．PR=QR•3=73+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+133．故答案为：7+23；27+133．【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．12.【答案】直角【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，∴a2+2ab+b2﹣c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故答案为直角．【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．13.【答案】【考点】勾股定理【解析】【解答】解：设斜边上的高为h，∵直角三角形的两条直角边为4cm，3cm，∴斜边的长==5cm，∴3×4=5h，解得h=．故答案为：．【分析】设斜边上的高为h，再根据勾股定理求出斜边的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．14.【答案】15，112，113【考点】勾股数【解析】【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，