数值分析第二章学习小结

第2章线性方程组的解法--------学习小结姓名赵越班级机械1504学号S20150171一、本章学习体会通过两周的时间，我们进行了第2章—线性方程组的解法的学习。通过对这一章的学习，我了解到了两种求解线性方程组的方法：直接方法和迭代法。掌握了这两种算法的分类和各种类别计算方法的思路和算法。并且通过对这些算法的相互比较，得出了其各自的优点和缺点，认识到了要根据具体的线性方程组的特点来选择合适的解法，这样我们才能快速准确的得到方程组的解。然后还尝试去编译这些算法的matlab程序，学会通过电脑编程来进行线性方程组的求解。二、本章知识梳理2.1Gauss消去法Gauss消去法是由消元和回代这两个过程组成的。相关概念：2.1.1顺序Gauss消去法1、消元过程对于k=1,2，…，n-1执行2.1Gauss（高斯）消去法顺序Gauss消去法列主元素Gauss消去法消元过程回代过程消元过程回代过程（1）如果()0kkka，则算法失效，停止计算；否则转（2）。（2）对于i=k=1，k=2，…，n计算2、回代过程2.1.2列主元素Gauss消去法1、消元过程对于k=1，2，…，n-1执行（1）选行号ki，使（2）交换()kkja与()kkija（j=k，k+1，…，n）以及()kkb与()kkib所含的数值。（3）对于i=k+1，k+2，…，n计算2、回代过程2.2直接三角分解法相关概念：2.2.1Doolittle分解法与Crout分解法1.三角分解：如果方程组的系数矩阵A能分解成A=LU其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时，方程组就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly=b，Ux=y先由Ly=b解出向量y，再由Ux=y解出向量x，这就是原方程组的解向量。矩阵A分解为LU的形式称为矩阵A的三角分解。2.Doolittle分解法：如果上诉分解式中L是单位下三角阵，U是上三角矩阵，则称为矩阵A的Doolittle（杜立特尔）分解。3.Crout分解法：如果L是下三角矩阵，U是单位上三角阵，则称为矩阵A的Crout（克劳特）分解。2.2.2选主元的Doolittle分解法2.2直接三角分解法Doolittle分解法与Crout分解法选主元的Doolittle分解法三角分解法解带状线性方程组追赶法求解三对角线性方程组三角分解Doolittle分解法Crout分解法拟三对角线性方程组拟三对角线性方程组的求解方法三对角线性方程组1、定理2.4若矩阵nnAR非奇异，则存在置换矩阵Q，使得QA可作Doolittle分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。2.2.3三角分解法解带状线性方程组2.2.4追赶法求解三对角线性方程组1、设n元线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异的三对角矩阵nnnadccadbaA122211这种方程组称为三对角线性方程组。2.2.5拟三对角线性方程组的求解方法1、系数矩阵为如下的拟三角矩阵nnnnadcccaddbaA1222111的线性方程组Ax=b称为拟三对角线性方程组。2.3矩阵的条件数与病态线性方程组相关概念：2.3.1矩阵的条件数与线性方程组的形态a.定理2.6设A、nnAR，b、nbR，A非奇异，0b，x是方程组A,x=b的解向量。若11AA，则有：（1）方程组：bbxxAA))((有唯一解xx；（2）下列估计式成立：bbAAAAAAxx11b.矩阵A的条件数有以下性质：矩阵的条件数与病态线性方程组矩阵的条件数与线性方程组的性态关于病态线性方程组的求解问题条件数：对非奇异矩阵A，称量1AA为矩阵A的条件数，记作1)(AAAcond常用的条件数：1)(AAAcond，212)(AAAcond采用高精度的算术运算残差校正法平衡方法（1）对任何人非奇异矩阵A，1)(Acond。（2）设A是非奇异矩阵，0k是常数，则有)()(AcondkAcond。（3）设A是非奇异矩阵的实对称矩阵，则有nAcond12)(其中1和n分别是矩阵A的模为最大和模为最小的特征值。（4）设A是正交矩阵，则有1)(2Acond2.3.2关于病态线性方程组的求解问题a.可以用下列方法判别线性方程组Ax=b是否病态：（1）当Adet相对很小或A的某些行（或列）近似线性相关是2，方程组可能病态。（2）用列主元素Gauss消去法求解方程组时，若出现小列主元)(kkika《1，则方程组可能病态。（3）分别用b和bb(b《1)作方程组的右端向量，求解bAx和xA~=bb，若x和x~相差很大，则bAx是病态的。当A的元素的数量级差别很大，且无一定规则时，方程组可能病态。2.4迭代法相关概念2.4.1迭代法的一般形式及其收敛性a.设nn矩阵G的特征值是n,,,21，称iniG1max)(为矩阵G的谱半径。迭代法迭代法的一般形式及其收敛性Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法逐次超松弛迭代法谱半径迭代法收敛的充要条件迭代公式迭代矩阵分量形式收敛的充要条件迭代公式迭代矩阵分量形式收敛的条件迭代公式迭代矩阵分量形式收敛的条件b.定理2.8对任意的向量Rnd，迭代法dGxkkx)1()1(（,1,0k）收敛的充分必要条件是1)(G。2.4.2Jacobi迭代法a.迭代公式:bDxDLDxkk1)(1)1()(（,1,0k）b.迭代矩阵：DLDGJ1c.分量形式：iinjikjijkiabxaxij1)()1(（,2,1;,,2,1kni）d.Jacobi迭代法收敛的充分条件：（1）1JG（2）如果方程组bAx的系数矩阵是主对角线按行（或按列）严格占优阵，则用Jacobi迭代法求解必收敛。2.4.3Gauss-Seidel迭代法b.迭代公式:bLDUxLDxkk)1()(1-)1()()(（,1,0k）b.迭代矩阵：ULDGG1-）（c.分量形式：,...)1,0;,...2,1(11)(11)1()1(kniabxaaxaaxiiinjkjiiijijkjiiijkid.定理2.13GS法收敛的充分必要条件是()1GG。定理2.14如果1GG,则GS法收敛。定理2.15如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行（或按列）严格占优阵，则用GS法求解必收敛。2.4.4逐次超松弛迭代法c.迭代公式:bLDxUDLDxkk1)(1)1()1(11)1(（,1,0k）b.迭代矩阵：UDLDGS11)1(1c.分量形式：iiikjnijiiijkikjijiiijkiabxaaxxaax)(1)()1(11)1(11（,2,1;,,2,1kni）d.定理2.17SOR方法收敛的充分必要条件是()1GG。定理2.18如果1SG，则SOR方法收敛。定理2.19SOR方法收敛的必要条件是02。定理2.20如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行（或按列）严格占优阵，则用01的SOR方法求解必收敛。定理2.21如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用02的SOR方法求解必收敛。三、本章思考题在求解线性方程组的时候，直接法和迭代法的区别是什么？各自的算法思想是什么？适用的范围是什么？答：迭代法就是一种不断的通过用旧的值来递推出新的值的过程，与迭代法相对应的就是直接法，顾名思义，直接法就是直接对所求问题进行求解的方法，一次性的快速解决问题。一般情况下，直接法是有线考虑的，但是遇到未知量数量较多的复杂问题时，直接法就无法直接求解到答案，这就需要使用其他方法，迭代法就可以很好的解决这种情况。同时由于计算机的发展，可以利用计算机运算速度快的特点，结合迭代法的特点，很快的就可以求解出答案，比直接法要快的多。四、本章测验题用Doolittle分解法求解下列方程组1234-20524103321321321xxxxxxxxx解：对方程的系数矩阵A进行LU分解：831-4-1-3311331-4-1-331134-1-52331134-1-524311A31-3L84-1-311U由Ly=b，Ux=y得：5210-10y313382391-x