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平行四边形存在性问题等腰三角形存在性问题直角三角形存在性问题1.如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；(2)连接𝐹𝑃，作𝐸𝑄 // 𝐹𝑃交𝐹𝐸于𝐸设𝐸𝐶为𝑥∵𝐸𝐻⊥𝐴𝐶，∴∠𝐸𝐻𝐶=90∘∴△𝐶𝐻𝐸为直角三角形∵△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∴∠𝐶=60∘在𝑅𝑡△𝐶𝐻𝐸中，∠𝐶𝐻𝐸=90∘，∠𝐶=60∘，∴𝐸𝐻=32𝑥，又∵𝑃𝑄=𝐸𝐹=𝐵𝐸=4−𝑥∴𝑆平行四边形𝐸𝐹𝑃𝑄=−32𝑥2+23𝑥．（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．(3)𝑆平行四边形𝐸𝐹𝑃𝑄=−32𝑥2+23𝑥=−32(𝑥−2)2+23，∴当𝑥=2时，𝑆平行四边形𝐸𝐹𝑃𝑄有最大值．此时𝐸、𝐹、𝑃分别为△𝐴𝐵𝐶三边𝐵𝐶、𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，且点𝐶、点𝑄重合∴平行四边形𝐸𝐹𝑃𝑄是菱形．EFPCBA（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．H（Q）EPFBCAA(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，抛物线的对称轴是x=1；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？(2)①设直线𝐵𝐶的函数关系式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏．把𝐵(3, 0)，𝐶(0, 3)分别代入得：3𝑘+𝑏=0𝑏=3，解得：𝑘=−1𝑏=3．所以直线𝐵𝐶的函数关系式为：𝑦=−𝑥+3．当𝑥=1时，𝑦=−1+3=2，∴𝐸(1, 2)．当𝑥=𝑚时，𝑦=−𝑚+3，∴𝑃(𝑚, −𝑚+3)．在𝑦=−𝑥2+2𝑥+3中，当𝑥=1时，𝑦=4．∴𝐷(1, 4)当𝑥=𝑚时，𝑦=−𝑚2+2𝑚+3，∴𝐹(𝑚, −𝑚2+2𝑚+3)（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？∴线段𝐷𝐸=4−2=2，线段𝑃𝐹=−𝑚2+2𝑚+3−(−𝑚+3)=−𝑚2+3𝑚∵𝑃𝐹 // 𝐷𝐸，∴当𝑃𝐹=𝐸𝐷时，四边形𝑃𝐸𝐷𝐹为平行四边形．由−𝑚2+3𝑚=2，解得：𝑚1=2，𝑚2=1（不合题意，舍去）．因此，当𝑚=2时，四边形𝑃𝐸𝐷𝐹为平行四边形．（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．②设直线𝑃𝐹与𝑥轴交于点𝑀，由𝐵(3, 0)，𝑂(0, 0)，可得：𝑂𝐵=𝑂𝑀+𝑀𝐵=3．∵𝑆=𝑆△𝐵𝑃𝐹+𝑆△𝐶𝑃𝐹即𝑆=12𝑃𝐹⋅𝐵𝑀+12𝑃𝐹⋅𝑂𝑀=12𝑃𝐹⋅(𝐵𝑀+𝑂𝑀)=12𝑃𝐹⋅𝑂𝐵．∴𝑆=12×3(−𝑚2+3𝑚)=−32𝑚2+92𝑚(0≤𝑚≤3)．3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；抛物线的函数解析式为𝑦=−𝑥2+92𝑥+1∴tan∠𝐴𝐵𝑂=𝐴𝐷𝐵𝐷=45225=211；3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．（4）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．4.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；4.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．谢谢观看