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第十二章全等三角形12.1全等三角形1、全等形：能够完全重合的两个图形.例1．在下列图形中，与左图中的图案完全一致的是【答案】B【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．与A、C、D中的图案不一致，只有与B中的图案一致．故选B．例2．下列说法正确的个数为（）（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形（3）所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】试题分析：根据全等图形的定义依次分析各小题即可判断.（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形，正确；（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形，正确；（3）所有的正六边形形状相同，但大小不一定相等，不一定是全等形，故错误；（4）面积相等的两个正方形是全等形，正确；故选C.考点：本题考查的是全等图形的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两个能够完全重合的图形称为全等图形.例3．下列命题：（1）只有两个三角形才能完全重合；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定是全等形；（4）边数相同的图形一定能互相重合.其中错误命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】试题分析：根据全等图形的定义依次分析各小题即可判断.（1）只要形状和大小完全相同的两个图形均能重合，故错误；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同，正确；（3）两个正方形形状相同，但大小不一定相等，不一定是全等形，故错误；（4）边数相同的图形形状、大小不一定相同，不一定能互相重合，故错误；故选B.考点：本题考查的是全等图形的定义点评：解答本题的关键是熟练掌握两个能够完全重合的图形称为全等图形.2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形.3、对应顶点：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点.4、对应边：重合的边叫做对应边.5、对应角：重合的角.6、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等.例1．如图，△ABC≌△DCB，点A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是（）．A．7cmB．9cmC．12cmD．无法确定【答案】B【解析】试题分析：已知△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=AC＝9cm，故答案选B．考点：全等三角形的性质．例2．如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（）A.AC与BDB.AO与ODC.OC与OBD.OC与BD【答案】A【解析】由全等三角形的性质可知，AC与BD是对应边，AO与OB是对应边，OC与OD是对应边，故选A例3．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：（1）对应线段平行；（2）对应线段相等；（3）对应角相等；（4）不改变图形的形状和大小，其中正确的有（）A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（4）C.（1）（3）（4）D.（2）（3）（4）【答案】D【解析】试题分析：一个图形无论经过平移还是旋转，对应线段和角相等，不改变图形的形状和大小，旋转后对应的线段可能不平行．故选：D．考点：几何变换的类型．例4．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为_________cm．【答案】3．【解析】试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=5cm，∵BF=7cm，BC=5cm，∴CF=7cm-5cm=2cm，∴EC=EF-CF=3cm，故EC长为3cm．考点：全等三角形的性质．ODCBA12.2三角形全等的判定三角形全等的判定：1、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.例．如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC且AD⊥BC，垂足为D，求证：△ABD≌△ACD.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD；试题解析：∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ACD中，BDCDADADABAC，∴△ABD≌△ACD（SSS）；考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．2、两边和它们的夹角分别相等的三角形全等（SAS）.例1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：ABF≌DEC．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据AB∥DC，可得∠C=∠A，然后由AE=CF，得AE+EF=CF+EF，最后利用SAS判定△ABF≌△CDE．试题解析：∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，在△ABF和△CDE中，A=CAF=CEABCD∠∠，∴△ABF≌△CDE（SAS）．考点：全等三角形的判定．例2．如图，C为线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，且CD＝CE，求证：△ACD≌△BCE．【答案】见解析（图1）DCBAACBDE【解析】试题分析：CD平分∠ACE，所以∠1=∠2;CE平分∠BCD，所以∠2=∠3;所以∠1=∠2=∠3C是线段AB的中点，AC=CB，已知CD=CE，由边角边得△ACD≌△BCE试题解析：∵C是线段AB的中点∴AC=BC∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD∴∠ACD=∠ECD，∠BCE=∠ECD∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中ACBCACDBCECDCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．考点：全等三角形的判定3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）.4、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.例1．（7分）如图，在ΔABC与ΔDCB中，AC与BD交于点E，且，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：ΔABE≌ΔDCE（2）当∠AEB=70°时，求∠EBC的度数．【答案】（1）详见解析；（2）35°．【解析】试题分析：（1）根据AAS即可推出ΔABE≌ΔDCE;（2）由（1）得EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入即可求出∠EBC的度数．试题解析：（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，DCABDECAEBDA，∴△ABE≌△DCE（AAS）．∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=70°，∴∠EBC=35°．考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质．5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).6、证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例1．如图，在△ABC和△DEF中，满足AB=DE，∠B=∠E，如果要判定这两个三角形全等，添加的条件不正确的是（）A．BC=EFB．AC=DFC．∠A=∠DD．∠C=∠F【答案】B【解析】试题解析：A.∵在△ABC和△DEF中，ABDEBEBCEF，∴△ABC≌△DEF（SAS），正确，故本选项错误；B、根据AB=DE，∠B=∠E，AC=DF不能推出△ABC≌△DEF，错误，故本选项正确；C、∵在△ABC和△DEF中，ADABDEBC，∴△ABC≌△DEF（ASA），正确，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，CFBEABDE，∴△ABC≌△DEF（AAS），正确，故本选项错误；故选B．考点：全等三角形的判定．例2．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．∠BCA=∠DCAB．∠BAC=∠DACC．CB=CDD．∠B=∠D=90°CABD【答案】A．【解析】试题分析：A、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意．故选：A．考点：全等三角形的判定定理．例3．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．【答案】AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．【解析】试题解析：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，若利用“HL”，可添加EB=BD，若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．考点：全等三角形的判定．例4．如图，已知AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中共有__________对全等三角形．【答案】3．【解析】试题分析：已知AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=BD，利用SAS可判定△ABD≌△CDB；由全等三角形的性质可得AD=BC，∠BAD=∠DCB，再由AB=CD，∠BOA=∠DOC，利用AAS可得△BOA≌△DOC；再由AD=BC，AB=CD，AC=CA，利用SSS可得△BAC≌△DCA．故图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定及性质．12.3角的平分线的性质1、角的平分线的点到角两边的距离相等.2、角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.例1．如图所示，在RtΔACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（）A.9B.8C.7D.6【答案】D．【解析】试题分析：∵BC=16，BD=10∴CD=6由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=6．故选D．考点：1.角平分线的性质；2.角平分线的定义．例2．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C．【解析】试题分析：∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C．考点：１.三角形内角和定理；２.角平分线的定义．例3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝5cm，则点D到AB的距离为______cm．【答案】5【解析】试题分析：过点D作DEAB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DECD，从而得解．如图，过点D作DEAB于E，∵90C，BD平分ABC∴DECD，∵5CDcm，∴5DEcm，即点D到AB的距离为5cm．考点：角平分线的性质．例4．如图，点P是∠ABC的平分线上一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N．求证：（1）∠PMN=∠PNM；（2）BM=BN．【答案】见解析【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质得到PM=PN，根据等腰三角形的性质证明即可；（2）根据同角的余角相等解出证明．证明：（1）∵PB是∠ABC的平分线，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM；（2）∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB=∠PNB=90°，又∠PMN=∠PNM，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN．考点：角平分线的性质．