大学物理机械波

(3)物质波,讨论微观粒子的波动性各种波的本质不同,但其基本传播规律有许多相同之处。(1)机械波(机械振动的传播)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）第15章机械波波动振动在空间的传播过程（一定运动形态的传播过程）1按波面形状平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按复杂程度简谐波（simpleharmonicwave）复波（compoundwave）按持续时间连续波（continuedwave）脉冲波（pulsatingwave）按波形是否传播行波（travellingwave）驻波（standingwave）2波动一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程）行波POyxxu扰动的传播（行走）行波一次扰动（脉冲）的传播脉冲波例：抖动绳子)(0tfy)(uxtfyO点:P点:脉冲波波函数315.1弹性体弹性形变弹性体——若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为弹性体。ΔSΔFtΔFΔFN正应力：limNFSlimFS000lllll切应力：415.1.1线应变与杨氏模量FFl0l线应变胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，比例系数称为杨氏模量。Y15.1.2剪切应变与切变模量5切应变FFddSβtandd微小形变时，tan此时，剪切应变可直接用β来表示。实验表明：在形变限度内，切应力与切应变成正比：τ=Gγ=Gβ------G称为切变模量15.1.3体应变与体积模量体应变VVK正应力3(12)YKv--体积弹性模量1kK体积压缩系数1、机械波产生的条件1）波源2）弹性介质或者弹性媒质2、横波：纵波：共性：波动性15.2机械波的产生和传播67波形图：某确定时刻uxoy某时刻各点振动的位移y(广义：任一物理量)与相应的平衡位置坐标x的关系曲线——上述波形图既可以表示横波，也可以表示纵波。3.波面与波线波面：某时刻，同一波源向外传播的波到达的空间各点连成的面（同相位面）波射线：描述波传播的方向的射线简称波线波面波阵面（波前）波射线垂直于波面波射线是波的能量传播方向波射线（波线）波阵面：某时刻，传播在最前面的波面（又称波前）8在各向同性介质中——球面波柱面波平面波点源：波面是球面所以称为球面波线源：波面是柱面所以称为柱面波面源：波面是平面所以称为平面波能量91310741131074113107410t4Tt13107412Tt43TtTt当第1个质点振动1个周期后，它的最初的振动相位传到第13个质点，即：第1个质点领先第13点相位。π210波是振动状态（能量）的传播，不是媒质质点的传播，各媒质质点均在自己的平衡位置附近作振动。同时看波线上各点沿传播方向，各点相位依次落后。振动周期=波动周期11质点具有周期性的变化，不但有时间的周期性，还有空间的周期性。每个相同时间重复出现一个状态，每个相同距离也重复出现一个状态。Tt描述波的物理量xoyuAA振幅：A单位：或mcm周期：T单位：s波长：单位：、、或mcmnmμm波速：u单位：ms——由媒质的性质决定uT12(时间)频率：T/1空间频率：/1~T/2角波数：2k15.3一维平面简谐波的波函数-----波函数设一维平面简谐波以相速u沿x轴正向传播,t时刻波形如图),(trO点的振动位移为)cos(),0(0tAty0cos),(uxtAtxyP点的振动位移为(op=x)02cos),(xTtAtxy或PyxOu15.3.1表达式13定义角波数)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0kxtAtxy)cos(),(0rktAtr)cos(),(0krtrAtr2ku定义波矢k例：“+”会聚球面波“-”发散球面波沿负方向传播的波的方程0cos),(uxtAtxy0cos),(uxtAtxy同一振动状态X处比0处超前t=x/u14波函数的物理意义1、当x一定时,例:x=x0=常数令常数----x0处简谐振动运动方程0cosuxtAy00cosuxtAy1costAyux010T2反映了振动的时间周期性12costTAyt每增加T，y不变152、当t=t0=常数00cosuxtAy100t令t0时刻的波形x每增加λ，y不变反映了波的空间周期性xtAy2)(cos0012cosAx163、x,t都变表示波射线上不同质点在不同时刻的位移----行波波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播，0)(2cosxTtAy由看出t或x每增加T或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。0cosuxtAy17例：已知：图示为波源（x=0处）振动曲线且波速u=4m/s,方向沿x轴正向.求：t=3s时波形曲线（大致画出）解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123418例2正向波在t=0时的波形图波速u=1200m/sA/2AA0yΦ0=π/3φM=-π/2t=0x=0t=0M处求：波函数和波长解：])(cos[0uxtAy设)(10.0cmA由图如何确定ωφ0?由初始条件：y0=A/2v00x(m)-0.10y(cm)0100.05t=0时uMΦ0=π/3如何确定ω?由M点状态yM=0vM0ΦM=-π/265230M状态相同点与点经001201120010tssuoMtM100t]3)1200(100cos[10.0xty)(242muuT19例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期T=2.0s，波长=2.0m。t=0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置向y轴正向运动，求:(1)波函数；(2)t=1.0s时刻的波形图；(3)x=0.5m处质点的振动曲线；解：(1)(0,)cos()cos()22ytAtAt2T波函数(,)cos[()]cos[()]22xyxtAtAtxu(3)cos()2yAx(2)cos()yAtx/my/mot=1.0s01.02.y/mot/s01.02.x=0.5m11λumsT20例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速u=20m/s，已知A点的振动方程为，(1)以A为坐标原点，写出波方程；(2)以B为原点写出波方程；(3)写出C、D点的振动方程3cos(4)cmyt解：xABCDm8m5m9u14s(1)(,)3cos[4()]cm20xyxtt(2)以B点为原点5(,)3cos[4()]cm20xyxtt(3)133cos(4)cm5Cyt93cos(4)cm5Dyt3cos(4)Ayt与坐标原点的选择无关211s102muuT15.3.2平面波波动微分方程cosxyAtu求一阶偏导数得振动速度函数222cosyxAttu再求一次偏导数，得波函数对时间的二阶偏导数，即振动加速度函数sinyxAttuv由平面简谐波波函数波函数对位置x的一阶偏导数为：sin()yxAtxuu22该式是平面简谐波（或一维简谐波）的波动方程，而平面简谐波（或一维简谐波）的波函数是该方程的一个特解。2222cosyxAtxuu222221yyxutsin()yxAtxuu而一维简谐行波函数对x的二阶偏导数为比较上两式得222cosyxAttu2315.4波动方程与波速取小质元ab=dx体积为dV=sdx质量为dm=sdx设质元被拉伸形变：受弹性力利用胡克定律有：Y为杨氏模量yxFdyydxxFdF22)(tydmFdFFyFYsx受弹性力xdxxabydyyFlyYYslx(应力与应变成正比）因此dx24横波波速纵波波速G为剪切模量22ydFYsdxx2222yyxYt1YuGu2222221tyuxy三维情况：012222tu式中称为拉普拉斯算子2222222zyxY为杨氏模量2222tysdxtydmyFYsx0cos),(uxtAtxy由波函数对比上式可得25建立弦微小振动的波动微分方程0coscos1122FF221122sinsindtyddxFFxyxx+dxF1F221很小和12112COSCOSdxxdxdytg|sin22xdxdytg|sin11xxdxxdtyddxdxdydxdyF|)||(22xtdtydFdxdxdyd22)(2222tyFxyFu222221tyuxy对比得FFF212615.5波的强度设在棒中传播的一维简谐波的表达式x处点质元的动能:kxtAxtAycos2cossdxdVdm222121tydVvdmdEkdVkxtA222sin21221dyKdEp弹性势能27弹性势能2222111222psdxdEKdyYdyYsdydxdx222211sin22yYdVYkAtkxdVx22vkvuYFsYyxyFYsKdyx1KYsdxdVkxtAdEP222sin21kdE221dyKdEpxO以绳波为例28dVkxtAdEdEdEkP222sinkxtAdVdEw222sinTAwdtTw022211能量密度SPIdVkxtAdEP222sin21kdEuSwdtdtuSwP平均能流平均能流密度---波的强度uwuAI2221uwI29若各处的振动情况不随时间变化，介质无吸收，则由能量守恒定律，单位时间内通过不同波面的能量应相等。设面积为S1的波面处波的强度为I1，面积为S2的波面处波的强度为I2，则由能量守恒定律，即1122ISIS12SS12II对于平面波，所以即平面波的振幅12AA30对于球面波，2114πSr2224πSr则由能量守恒定律，即2211224π4πrIrI21221IrIr所以球面波的振幅与传播距离成反比，即1221ArAr则球面波波函数为cosArtru31波的吸收ddAAx为吸收系数ddAxA0x0ddAAAxA0xAAe0AAoxdxAdAAx15.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射惠更斯原理惠更斯原理：（1）用来确定波的传播方向，能解释机械波的传播规律；（2）解释了光（电磁波）的反射、光的