高中数学向量总结归纳

平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=2121yyxx.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.2.平面向量数量积的重要性质.①|a|=aa=2||cos||||aaa;cosθ=||||)(baba;|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a,b共线时取等号.②设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|=2121yx;cosθ=222221212121)(yxyxyyxx;|x1x2+y1y2|≤22222121yxyx3.两向量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:a⊥ba·b=0.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式|a|2=a·a或|a|=aa;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b);|a±b|=cos||||222baba(θ为a,b夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.5.三角不等式的推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.小练习一【例1】计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且BC=a,CA=b,AB=c,求a·b+b·c+c·a;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是32π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数λ取向值时，p⊥q.【解前点津】(1)利用x2=x·x,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0a·b+b·c+c·a=23.(2)cosr,a=||||arar,∵|r|=2r且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.∴|r|=14cosr,a=1414||14||||14)(2aaaacba;cosr,b=714||14||||14)(2bbbbcba;cosr,c=143||14||||14)(2cccccba.(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0|a|2=|b|2=2a·b(|a|·|b|)2=4(a·b)221||||baba.由cosa,b=21得:a,b=3;由cosa,b=-21得:a,b=32.(4)令p·q=0得:(3a-b)·(λa+17b)=03λ|a|2-17|b|2+(51-λ)a·b=0①将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos32代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40.【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】①当∠A=90°时,因为AB·AC=0,∴2×1+3·k=0,∴k=-32.②当∠B=90°时,BC=AC-AB=(1-2,k-3)=(-1,k-3)∵AB·BC=0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0k=311.③当∠C=90°时,∵AC·BC=0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0k=233.∴k的取值为:-32,311或233.【例4】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】利用内积的有关运算性质.【规范解答】(1)|a|=51222,|b|=10)3(122cosα=102105)3112(||||baba,∴α=π-arccos102.(2)|a+b|=13)1(21052)(222abbaba,|a-b|=17)1(2105222abba.cosβ=221221517131051713)(21)(21)(21)(2122bababababa.【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.小练习二一、基础夯实1.已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是()A.60°B.30°C.135°D.45°2.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为3,则向量m=a-4b的模为()A.2B.23C.6D.123.a,b是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2是a⊥b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于()A.23B.57C.63D.835.已知a=(λ,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.λ310B.λ≥310C.λ310D.λ≤3106.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于()A.54,53或53,54B53,54或54,53C54,53或53,54D54,53或54,537.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为()A.55B.55C.565D.13138.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-21)在线段AB中垂线上,则x为()A.-47B.47C.2D.-29.已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角为43,则k的值为()A.-4B.4C.5D.-510.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:x·a=9与x·b=-4的向量x为()A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)二、思维激活11.已知向量a、b的夹角为3,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=.12.已知a⊥b、c与a,b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2=.13.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若c⊥a,则c=.14.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=BC,b=CA,则a与b的夹角为.三、能力提高15.设A、B、C、D是平面内任意四点,求AB·CD+BC·AD+CA·BD值.16.设OA=(3,1),OB=(-1,2),OC⊥OB,BC∥OA,O是原点，求满足OD+OA=OC时的OD坐标.17.已知两单位向量a与b的夹角为120°,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.18.已知a=(3,-1),b=23,21,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)·b,y=-ka+t·b,且x⊥y,试求ttk2的最小值.平面向量的数量积及平面向量的应用解答1.D∵a·(a-b)=a2-a·b=0,∴a·b=1=1·2cosθ,∴cosθ=21.2.B|m|=2m=323cos1620cos128162816222baba.3.C展开得:a2+b2+2a·b=a2+b2a·b=0.4.D原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5.A∵a·b=10-3λ,|a|=24,|b|=34,∴由cosα=24343100得λ310.6.D设b=(x,y),则x2+y2=1且4x+3y=0解方程组得5453yx或5453yx.7.C∵a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|=13,|b|=65,∴13=6513·cosθ,∴|a|·cosθ=5656513.8.C由条件知AB中点为M21,1,令MP·AB=0得:(x-1,-1)·(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)·(-3)=0,x=2.9.D作内积:a·b=3k=3·252kcos43k0且252k=-2kk=-5.10.B设x=(m,n),则由条件得324293nmnmnm,故x=(2,-3).11.由已知条件得:a·b=1,故原式=21)214()214()()(22baba.12.由条件得:c·a=3×1×cos60°=23,c·b=3×2·cos60°=3.原式=a2+4b2+c2+2a·c+4a·b-4b·c=1+16+9+3-12=17.13.∵c=(1-k,1-2k),∴由c·a=0得1·(1-k)+2(1-2k)=0得k=53c=51,52.14.由条件a=(-1,-1),b=(-1,0)|a|=2,|b|=1,由a·b=2cosθ得:(-1·(-1)+(-1)·0=2cosθcosθ=22θ=45°.15.∵AB=AD-BD,BC=BD-CD,CA=CD-AD,∴原式=(AD-BD)·CD+(BD-CD)·AD+(CD-AD)·BD=AD·CD-BD·CD+AD·BD-AD·CD+BD·CD-AD·BD=0.16.设OC=(x,y),由OC⊥OB得:-x+2y=0,又BC=OC-OB=(x+1,y-2),而BC∥OA3(y-2)-(x+1)=0解关于x,y的方程组得x=14,y=7.∴OC=(14,7)OD=OC-OA=(11,6).17.∵a、b是两单位向量,∴|a|=|b|=1,且a,b夹角为120°.∴a·b=|a|·|b|·cos120°=-21,∵|c|2=c·c=(2a-b)·(2a-b)=4a·a-4a·b+b·b=4|a|2-4a·b+|b|2=7,∴|c|=7.∵|d|2=d·d=(3b-a)·(3b-a)=9b·b-6a·b+a·a=13,∴|d|=13.∵c·d=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-3b·b-2a·a+a·b=-217,∴cosθ=-1829117137217(θ为c、d夹角).∴θ=π-arccos1829117.18.∵|a|=2)1(32,|b|=1232122,∵a·b=0231213,故a⊥b,∵x·y=0,∴［a+(t2-3)·b］·［-ka+tb］=0化简得:k=433tt.∴47)2(41)34(414222ttttk≥-47.当且仅当t=-2时,ttk2有最小值-47.小练习三一选择题1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若ABPCPBPA，则点P与△ABC的位置关系是（）A、点P在△ABC内部B、点P在△ABC外部C、点P在直线AB上D、点P在AC边上2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为（）A、正三角形B、钝角三角形C、等