有限元基础第五章-线性三角形单元概要

三角形单元06:052引言杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进行自然的离散。连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工的方法进行离散。三维问题平面问题平面应力平面应变平面问题平面应力平面应变离散06:053三节点平面三角形单元x,uy,v1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)Afsxfsy112233euvuvuvd节点1的位移节点2的位移节点3的位移三节点三角形单元的位移函数可假设为：123456,,uxyxyvxyxy“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元法具有的重要优势之一。引入位移函数的概念：06:054平面三角形单元显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上的水平位移方程为：u1=1+2x1+3y1u2=1+2x2+3y2u3=1+2x3+3y3解出11112223331,111xyuuxyxyxyuxyu1111122223333111xyuxyuxyu06:055平面三角形单元11112322331111xyNNNxyxyxy假设求得1233223322311331133122112211()()21()()21()()2NxyxyyyxxxyANxyxyyyxxxyANxyxyyyxxxyA11223311121xyAxyxy其中A是三角形的面积06:056平面三角形单元112233,vxyNvNvNv式中N1，N2和N3是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形函数，数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值，也叫做插值函数。三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单元上分布的形状，所以称它为形函数（shapefunction）。这里值得注意一下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解，而不能说是精确解。为什么叫形函数?112233,uxyNuNuNu同理(,)(,)exyxyuNd06:057平面三角形单元12iiiiNabxcyA其中ijki=1,2,3j=2,3,1k=3,1,2ijkmmjjjmmjiyxyxyxyxamjmiiyyyyb11mjjmixxxxc111211iijjmmxyAxyxy三角形的形函数可统一表示为：06:058形函数的性质在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)1.三个形函数只有两个是独立的2.当三角形单元的三个结点的位移相等*ijmuuuu**(,)()iijjmmijmuxyNuNuNuNNNuu(,)(,)(,)1()()()2ijmijmijmijmNxyNxyNxyaaabbbxcccyA第一列与它的代数余子式乘积之和第一列与第二列的代数余子式乘积之和第一列与第三列的代数余子式乘积之和2A00106:059形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。0),(0),(1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN0),(1),(0),(mmjjjjiijyxNyxNyxN1),(0),(0),(mmmjjmiimyxNyxNyxNNi=1ijmNj=1ijmNm=1ijm形函数的性质06:0510在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有:形函数的性质0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijiixxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证jijixxxxyxN1),(ijijijiijijixxxxxxxxxxxxxxyxN1),((,)(,)(,)1ijmNxyNxyNxy()jiiijimiimyyyyxxxxbyyxxcij方程06:0511形函数的性质相邻单元的位移在公共边上是连续的ijpm0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为ijijiAildlNAdxdyN213式中为边的长度。ijlijxxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1Ni=1ijm06:0512形函数的性质完备性—包含常应变项和刚体位移项如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。协调性—相邻单元公共边界保持位移连续如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm-1连续性。如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变，这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去，有限元解就不可能收敛于真正解。收敛——单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真解06:0513形函数的性质当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（通常较容易满足）。当单元的位移函数满足协调性要求时，称单元是协调的。当势能泛函中位移函数的导数是2阶时，要求位移函数在单元的交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往往比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要单元能够通过分片试验(Patchtest)，有限元分析的解答仍然可以收敛于正确的解。这种单元称为非协调单元。分片试验由B.M.Irons首先提出，已经证明它给出了收敛性的充分条件。06:0514单元应变和应力矩阵0(,)(,)0(,)(,)(,)(,)xyeexyxuxyxyxyxyxyvxyyyxεuNdBd应变矩阵1231230000(,)[]0000xNNNxyNNNyyxBN06:0515单元应变和应力矩阵1231231231122330001(,)0002bbbxycccAcbcbcbBBBB312112233112233000000bbbccccbcbcbBBB由于与x、y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元节点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。332211,,,,,,cbcbcbA06:0516单元应变和应力矩阵210(,)10(,)11-002xxyyxyxyExyxyσDε平面应力：(,)(,)(,)(,)eexyxyxyxyσDεDBdSd123123(,)xySDBDBBBSSS22(1)1-1-22iiiiiiiibcEbcAcbSDB应力矩阵平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。06:0517单元应变和应力矩阵由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。当然，相邻单元的E，，A和bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小。06:0518单元分析61ed3136B几何关系位移函数33D本构关系31平衡关系61F36SDB66?eK单元刚度矩阵06:0519单元应变能AAxyxyyyxxhdxdyhdxdyUεσT21)(21AAhdxdyhdxdyUDεεεσTT2121eAeAeehdxdyhdxdydDBBdDBdBdTTTT2121单元应变能U为：TTTT)(DεDεσeεBdijmxyh注意到弹性矩阵D的对称性06:0520刚度矩阵引入刚度矩阵K：AehdxdyDBBKTeeeUdKdT21则：注意：hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得Ke的一般式：VeVdTDBBK06:0521单元外力功单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。ijmxyqV·ijmxyqs·ijmxyfcVyVxVqqqsysxsqqqcycxcfff06:0522单元外力功（1）体积力所做的外力功ijmxyqV·AVAVyVxVhdxdyhdxdyvquqWquTeuNdAVeVhdxdyWqNdTTVVeVVWdTTqNd06:0523单元外力功（2）面力所做的外力功lSlSySxShdlhdlvquqWquTeuNdlSeShdlWqNdTTtVeSWdTTqNdijmxyqs①②③④qs06:0524单元外力功（3）集中力所做的外力功cecWfdT·ijmxyfc当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力fc的势能Vc为综合以上诸式，单元外力的总外力功V为eecVVeceVeVeCSVttttcVVettfqNqNfddTT06:0525系统势能KddT121NeeUU扩充叠加TT12UWdKddfT1NeeWWdfTeeeWdf扩充叠加系统势能eeeeUdKdT2106:0526单元刚度矩阵的扩充叠加T12310000000000000001000200eeeiiijimenneeejijjjmemimUKKKdKduuuuuKKKKK12310000000neenjmmuuuuuKmijmij单元编号ijmeeeeUdKdT2106:0527单元等效节点载荷列阵的扩充叠加T123100eieennjemWfdfuuuuuffmijTeeeWdf单元编号ijm06:0528能量原理和系统平衡方程TT12UWdKddf系统势能根据弹性力学能量原理：结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。00fKdfKd上式是从能量原理导出的系统平衡方程。这个方程表达了节点力与节点位移之间的关系。06:0529刚度矩阵单元刚度矩阵：VeVdTDBBK1