正弦定理与余弦定理

正弦定理和余弦定理1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.正弦定理正弦定理正弦定理回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1.1正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABC1.1.1正弦定理sin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1正弦定理DCcBbAasinsinsin　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即1.1.1正弦定理解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:二、外接三角形中OB/cbaCBARCcRcBCBCBAB2sin2sinsin,90'''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcBbAasinsinsin能否用向量法来证明正弦定理？我们选择单位向量→j并让与垂直.→jAC→j与ABACCB的夹角分别为即:→jAB·→j(AC+CB)·C)cos(90cos90AC)Acos(90ABCBABCA9090C90=bacc·sinA=a·sinC同理:a·sinB=b·sinA→CcBbAasinsinsinC)cos(90cos90AC)Acos(90ABCBBCbacACcAasinsinBbAasinsin即即正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即（四）定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求b(保留两位有效数字）。解：∵CcBbsinsin且∴105C)(A180Bb=CBcsinsin19=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角变式训练：（1）在△ABC中，已知b=，A=，B=，求a。34560（2）在△ABC中，已知c=，A=，B=，求b。37560解：∵∴BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解：∵=45)6075(180又∵CcBbsinsin∴CBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB例2证明：∵用正弦定理证明三角形面积BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而BCADhasin∴BacSABCsin21又CbBcsinsinAcCasinsin∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21例3、在△ABC中，已知a=28，b=20，A=120º，求B（精确到1º）和c（保留两个有效数字）。baCBA120º小结：2、已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解或一解。如图（1）A为锐角a=bsinA(一解）AbaBCAB2baB1CabsinAab(两解）AbaBCa≥b(一解）（2）A为直角或钝角ab(一解）baABCbaCBAab(一解）（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC基础练习题1.1.1正弦定理BbaAABCBbaAABC求中，已知在求中，已知在,3310,4,60)2(,2,2,45)1(00B=300无解（3）在△ABC中，B=30°，AB=，AC=2，则△ABC的面积是32解：根据正弦定理，有BACCABsinsin所以23sinsinACBABC则C有两解：1)当C为锐角时，C=60°A=90°∴S=32sin21AACAB当C为钝角时，C=120°A=30°2)∴S=3sin21AACABABCC余弦定理千岛湖ABC千岛湖ABC用正弦定理能否直接求出A,B两处的距离？这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.?角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理222bacABCcba已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？勾股定理你能用向量证明勾股定理吗？222CBACAB即证CBACABCBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CBCcosCBAC2AC22bCcosab2aCBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC22bCcosab2aCBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22CB)C180cos(CBAC2AC22bCcosab2aCabbaccos2222Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。222bac勾股定理令C＝900勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何三角形ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)2220AsinbcAcosba222AsinbcAcosbc2Acosb22cAcosbc2b能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)2220AsinbcAcosba222AsinbcAcosbc2Acosb22cAcosbc2b能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？B(c,0)Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。222bac勾股定理令C＝900勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A=,能求a吗？60适用于任何三角形它还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。归纳：角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理千岛湖ABC?CCBCACBCAABcos22228.110cos7001338270013382235511.018732004900001790244665192228024429454361716AB答：A,B两处的距离约为1716米。引题（精确到1米）例3、在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形（角度精确到1º，边长精确到1cm）解：根据余弦定理82.16767547.040801156360041cos346023460Acosbc2cba22222所以cm41a5440.0aAsincCsin例4、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1）解：由余弦定理的推论得7.1618.8726.1347.1618.87bc2acbAcos222222,5543.00256A7.1616.13428.877.1616.134ac2bcaBcos222222,8398.03532B749035320256180BA180C练习：解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=，求BC的长3例5：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角22213244223cosCD中：，所以C是锐角，因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形22215648245cosCA、C显然不满足BA、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6例6：在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。2222cosabCbca221314278987解：3c则有：b是最大边，那么B是最大角22222273822371cos7acbacB小结1、余弦定理及其推论Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos2222、余弦定理的应用（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。（3）判断三角形22290Aacb22290Aacb22290Aacb01201、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则B＝（1）求该三角形面积;（2）记AB中点为D,求中线CD的长.02545,10,cos.5ABCBACC3、已知中，,,2,cos()ABCabccaddBd2、中，若成等比数列，且则1.4A3.4B2.4C2.3DB