2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练

2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练1/11《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练2/11（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）．4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练3/11要点四、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAPPB（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点五、射影定理在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）∴BDADCD2；ABADAC2；ABBDBC2（射影定理）；CDABBCAC（等积）．【典型例题】类型一、相似三角形1.已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】∵AC=a，BC=b，∴AB=22ab，①当△ABC∽△BDC时，BDBCABAC,即22babBDa.2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练4/11②当△ABC∽△CDB时，BDBCCBAC，即2bBDa.【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）.A．63B．123C．183D．243【答案】C；【解析】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.举一反三【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明：A与C关于直线MN对称，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，NMDACB2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练5/11∴△COM∽△CBA，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴OCOM=BCAB，∴OM=154.类型二、相似三角形的综合应用3.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=21BD，∵OE=OB，∴OE=21BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴CEDECDBD，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练6/114.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求CEBD的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求CEBD的值；（3）结合（1）、（2），试推断CEBD的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究CEBD的值能小于34吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．[来源:]【答案与解析】解：设AB=AC=1，CD=x，则0＜x＜1，BC=2，AD=1－x．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1－x）2=x2－2x+2．由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，∴BDCDABCE，即2212xxxCE，从而222xxxCE，∴22222222222xxxxxxxxxxCEBDy，0＜x＜1，（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=21，得25CEBDy．（2）若BD是∠ABC的角平分线，则ABBCADCD，得121xx，解得22x，∴2222222CEBDy．（3）1BDCE≥.若3422xxCEBDy，则有3x2－10x+6=0，解得375x∈（0，1），∴6171xxDCAD，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐EDCABEDCAB2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练7/11减小，BDCE的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问题来考查，是一道考查全面的好题．举一反三：【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=53．∴84433CG，431CF，∴2222451()33FGCFCG.5.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．2018-2019学年北师大版初三数学上册《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解及例题演练8/11【答案与解析】（1）∵MBC△是等边三角形∴60MBMCMBCMCB，∠∠∵M是AD中点，∴AMMD，∵ADBC∥，∴60AMBMBC∠∠，60DMCMCB∠∠，∴AMBDMC△≌△，∴ABDC，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）在等边MBC△中，4MBMCBC，60MBCMCB∠∠，又∵60MPQ∠，∴120BMPBPMBPMQPC∠∠∠∠，∴BMPQPC∠∠，∴BMPCQP△∽△，∴PCCQBMBP，∵PCxMQy，∴44BPxQCy，，∴444xyx，∴2144yxx.【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D,E在直线BC上运动．设BD=x,CE=y.(l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时，(l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．2018