量子计算和量子信息(量子计算部分-Nielsen等着)4(大部分)

4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞x∞)cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+...(-∞x∞)这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把上面的x换成这里的矩阵iAx即可。上面的数字1，就是单位矩阵I，n次方也就是矩阵iAx相乘n次。exp(iAx)=I+iAx-A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx-Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I=I-Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx-iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A4.3xyz|0-|i|i|1|-|+4.4H=(X+Z)/2=𝑅𝑥(π)𝑅𝑦(π/2)exp(iπ/2)𝑅𝑥(𝜃)=𝑅𝑧(−π/2)𝑅𝑦(𝜃)𝑅𝑧(π/2)所以H=𝑅𝑧(−π/2)𝑅𝑦(π)𝑅𝑧(π/2)𝑅𝑦(π/2)exp(iπ/2)4.5X^2=Y^2=Z^2=I并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.174.18左边线路的作用：|00|00|01|01|10|10|11-|11右边线路的作用：|00|00|01|01|10|10|11-|11所以等价HZH4.19[1001000000000110][𝑎𝑏𝑒𝑓𝑐𝑑𝑔ℎ𝑖𝑗𝑚𝑛𝑘𝑙𝑜𝑝][1001000000000110]=[𝑎𝑏𝑒𝑓𝑐𝑑𝑔ℎ𝑚𝑛𝑖𝑗𝑜𝑝𝑘𝑙][1001000000000110]=[𝑎𝑏𝑒𝑓𝑑𝑐ℎ𝑔𝑚𝑛𝑖𝑗𝑝𝑜𝑙𝑘]4.20左边=(H⨂H)(|00|⨂I+|11|⨂X)(H⨂H)=[1000000100011000]=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(iα)AXBXC,𝑉+=e^(-iα)𝐶+𝑋𝐵+𝑋𝐴+[100𝑒^(𝑖α)]可以无限穿越节点，但不能穿越X𝑒𝑖α𝑒𝑖αC𝑒−𝑖αBB+BA4.23U=𝑅𝑥(𝜃)=𝑅𝑧(−π2)𝑅𝑦(𝜃)𝑅𝑧(π2)不能减少U=𝑅𝑦(𝜃)能4.24控制比特：|00:第一比特位T|0=|0第二比特位𝑇+𝑇+S=(𝑇2)+S=𝑆+S=I第三比特位H𝑇+T𝑇+TH=I|01:第一比特位T|0=|0第二比特位𝑇+𝑇+S=(𝑇2)+S=𝑆+S=I第三比特位HX𝑇+TX𝑇+TH=I|10:第一比特位T|1=e^(iπ/4)|1第二比特位𝑇+𝑋𝑇+𝑋S=e^(−iπ/4)S,e^(−iπ/4)S|0=e^(−iπ/4)|0第三比特位H𝑇+𝑋T𝑇+𝑋TH=I,e^(iπ/4)|1⨂e^(−iπ/4)|0=|10|11:第一比特位T|1=e^(iπ/4)|1第二比特位𝑇+𝑋𝑇+𝑋S=e^(−iπ/4)S,e^(−iπ/4)S|1=e^(iπ/4)|1第三比特位H𝑋𝑇+𝑋T𝑋𝑇+𝑋TH=e^(-iπ/2)HZH=e^(-iπ/2)Xe^(iπ/4)|1⨂e^(iπ/4)|1=e^(iπ/2)|11𝑅𝑧π2𝑅𝑦(𝜃2)𝑅𝑧−π2𝑅𝑦(𝜃2)𝑅𝑦(𝜃2)𝑅𝑦(𝜃2)4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32ρ,=∑ρ𝑖𝑗00𝑖𝑗|ij|⨂|00|+∑ρ𝑖𝑗11𝑖𝑗|ij|⨂|11|ρ=Σρ𝑖𝑗𝑚𝑛|ij|⨂|mn|tr(ρ)=Σρ𝑖𝑗𝑚𝑛|ij|tr(|mn|)=Σρ𝑖𝑗𝑚|ij|4.33产生Bell态的线路为而线路HHH与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.394.40E(U,V)=√𝜑|(𝑈−𝑉)+(𝑈−𝑉)|𝜑=√𝜑|(𝑈+𝑈+𝑉+𝑉)|𝜑−𝜑|(𝑈+𝑉+𝑉+𝑈)|𝜑=√2−𝜑|(𝑈+𝑉+𝑉+𝑈)|𝜑U=cos(α/2)-isin(α/2)𝑛⃗*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)𝑛⃗*σ𝜑|(𝑈+𝑉+𝑉+𝑈)|𝜑=𝜑|2cos(β2)I|𝜑=2cos(β2)E(U,V)=√2−2cos(β2)=|1-exp(iβ/2)|4.41(S为相位门)输入|00𝜑输出是|00⨂(3/4S|𝜑+1/4XSX|𝜑)+(|01+|10−|11⨂(1/4)(S|𝜑−XSX|𝜑)（3/4）^2+(1/4)^2=5/8所以以5/8的概率得到|003/4S+1/4XSX=(1/4)[3+𝑖001+3𝑖]𝑅𝑧(𝜃)=exp(-i𝜃/2)[10035+45𝑖]U而(3+i)[10035+45𝑖]=[3+𝑖001+3𝑖]4.47利用练习2.54A，B对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)4.49左边对e^[(A+B)△t]泰勒展开到O(△t^3)即可右边对e^（A△t），e^（B△t）泰勒展开到O(△t^3)e^{-0.5[A,B]△t^2}泰勒展开到O(△t^4)右边再合并化简即可与左边相同4.50(1)每项e^[-i𝐻𝑘△t]泰勒展开到O(△t^2)即可(2)E(𝑈△t𝑚,e^(-2miH△t)≤∑E(𝑈△t,e^(−2iH△t)𝑚1=m||𝑈△t−e^(−2iH△t)|φ||=m||O(△t^3)|φ||=ma△t^34.51[01−10]𝑋=𝑍[0−𝑖−𝑖0]𝑌=𝑍再用式4.113即可