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InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所1多输入多输出系统的模态参数识别张永强高级工程师靖江泰斯特电子有限公司西北工业大学振动工程研究所InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所2•概述–单点激励的不足•激励能量不够，且传递过程中损耗过大；•离激励点较远的地方响应信号较弱，信噪比低；•较大激励会造成局部响应过大，产生非线性现象•若激励处于节点位置，系统变成不可控和不可观的；•模态密集时辨识能力较弱；–多输入多输出方法•时域和频域两种方法；InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所3•多输入多输出频响函数估计–系统的多输入多输出模型•输入与输出实测输入实测输出输入噪声输出噪声真实输入真实输出InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所4•系统模型•干扰影响–无干扰时–有干扰时–误差（总体误差）–测量误差–信号处理误差–非线性误差InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所5–估计－输出噪声估计模型•估计模型–无输入噪声–输出噪声与输入信号无关•估计–右乘F的共轭转置–再求数学期望，得–输出噪声与输入信号不相关时–频响函数估计F－输入向量H－频响函数矩阵X－输出向量N－系统噪声向量GXF－输入输出互功率谱密度矩阵GFF－输入自功率谱密度矩阵GNF－输出误差和输入的互功率谱矩阵InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所6•特点–是一种欠估计–对输入噪声比较敏感–输入噪声较大时，精度受影响，在共振点附近更是如此–要对输入自谱矩阵求逆，计算量大，且矩阵奇异易导致求逆失败–GFF奇异的几方面原因•某个输入谱为零时•两个或更多输入信号完全相关时•数值计算中的问题:矩阵病态等InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所7•检验判别工具若某一输入信号与输出信号常相干函数等于1，则表示该输入信号与该输出信号完全相关，该输出完全由该输入产生若两输入信号常相干函数等于1，则表示两个输入信号完全相关常相干函数（表明两信号的因果关系）InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所8偏相干函数–消除其它输入信号的潜在贡献后，输入与输入、输入与输出、输出与输出之间的相干函数；–如果输入偏相干函数为1，表明两个输入力是相关的。重相干函数–描述某个输出信号与所有已知输入信号之间因果关系；–重相干函数等于1，表示输出xi全部由输入信号f1、f1、…、fp引起；–重相干函数等于0，表示输出xi全部由未知噪声引起的。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所9–估计－输入噪声估计模型•估计模型–只有输入噪声–假设输入噪声与输出信号不相关•估计–右乘X的共轭转置–再求数学期望–输入噪声与输出信号不相关时–频响函数估计F－输入向量H－频响函数矩阵X－输出向量M－系统噪声向量GXF－输入输出互功率谱密度矩阵GFF－输入自功率谱密度矩阵GNF－输出误差和输入的互功率谱矩阵InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所10•特点–有唯一解的条件是GFX的逆矩阵存在–当激励力数P比响应测点数L小时，GFX的逆不存在–此时可利用最小二乘解，利用GFX的伪逆矩阵，求解–只考虑输入噪声的影响，对输出噪声比较敏感–是一种过估计，即有–在共振点附近，估计较估计有较高的精度–在反共振点附近，情况相反InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所11–输入输出噪声估计模型•同时考虑输入输出噪声•估计–取和的算术平均值–或取其加权平均–估计–取和的几何平均值InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所12•估计–利用最小二乘法原理，极小化误差矩阵的方法–圆盘结构三种估计对比试验»圆板放置在泡沫塑料衬垫上»采用随机激励»故意造成一些泄漏»人为施加一些噪声InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所13•特征系统实现算法（ERA）•最小二乘复频域法（PolyMax）InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所14特征系统实现算法（ERA）首先由美国国家航空与宇航局(NASA）所属的Langley研究中心于1984年提出。它是一种属于多输入多输出的时域整体模态参数辨识方法。它移植了自动控制理论中的最小实现理论，利用脉冲响应数据，采用奇异值分解的方法，求得系统的特征值与特征向量，从而求得模态参数。该方法于1984年提出后，当年即在美国伽利略航天器的模态分析中应用，次年又在航天飞机机载巨型太阳能帆板的太空模态试验中应用，均取得良好的效果，该方法有最佳的精度，因此是目前比较先进的一种时域参数辨识方法。特征系统实现算法（ERA法）InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所15特征系统实现算法是利用实测的自由响应（脉冲响应函数，相关函数），运用奇异值分解方法，确定系统的阶次和状态方程中的系统矩阵A、输人矩阵B和输出矩阵C，进而求解系统矩阵A的特征值问题，求得极点与留数，从而确定系统的模态参数。当矩阵A、B、C的阶次为最小时，即为最小实现。此时系统是可控的，又是可观的。基本思路InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所16（1）系统的状态方程描述对一个N自由度的线性系统，若在P个点激励，在L个点上测量响应，可用下列状态方程描述：式中：K为采样点序号；X(K）是在K△时刻系统的状态向量，(2Nxl)；△为采样间隔时间；Y(K）是在K△时刻的实测响应向量，Lx1;F(K）是在K△时刻系统的输人向量，Pxl;A为系统矩阵，2Nx2N;B为输入矩阵，又称控制矩阵，2NxP；C为输出矩阵，又称观测矩阵，Lx2N。对一线性定常系统，自由响应可用脉冲响应来代替。因此自由响应的最小实现问题常用脉冲响应的最小实现问题来代替。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所17（2）脉冲响应矩阵的建立系统的脉冲响应可由实侧传递函数的拉氏逆变换求得。对各点的脉冲响应函数h(t）进行离散采样后，便可得离散的脉冲响应函数序列h(K),K=1,2,…。设采样的时间间隔为△。在K△时刻，各测量点的脉冲响应可构成下列脉冲响应矩阵：式中：hij。为j点激励、i点测量的脉冲响应函数；L、P分别为测量点与激励点的数目。脉冲响应的最小实现问题是已知及求矩阵A、B、C，并使三重矩阵[A，B，C]的阶次最小。在求得系统矩阵A后，再由其特征值与特征向量确定模态参数。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所18（3）构成Hankel矩阵脉冲响应的最小实现一般是从生成Hankel分块矩阵开始。Hankel矩阵有如下形式：①InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所19对线性定常系统脉冲响应与矩阵A、B、C之间有如下关系：（4）、脉冲响应与三重矩阵【A、B、C】之间的关系对上式递推，可得InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所20继续递推并代入式①，可得②式中；P矩阵称为可观性矩阵；Q矩阵称为可控性矩阵；α、β则称为可观、可控性指数，且有由此即可导出特征系统实现算法的主要计算公式。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所21（5）、特征系统实现算法由式②，当K=1时，有③显然亦有④对进行奇异值分解，⑤式中：U为左奇异向量；V为右奇异向量；∑为奇异值矩阵,∑∈,U、V是正交归一化矩阵，σi称为奇异值，并且有σ1≥σ2≥σ3…≥σr。矩阵的秩即为系统的阶次。可由不为零的奇异值的个数来确定。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所22U，V，∑和A,B,C的关系其中InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所23因此系统的状态方程规范型可写为由式⑨可见，A矩阵的阶次取决于∑的阶次，而矩阵∑∈。因此，尽管的阶次很高（LαxPβ),经过奇异值分解后，∑属于2N阶。因为由此可见，系统矩阵A为2N阶方阵。相应的状态矢量X(K)的阶次必为2N阶，它是描述2N阶系统的最小阶次，因此是最小实现。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所24经上述推导，可以对做奇异值分解的含意，理解如下；1）从逼近理论来看，是所在子空间的最佳逼近。2）从信号处理角度来看，用代替相当于对数据进行一次维纳滤波。被滤掉的是对应于奇异值为零的那些与输入、输出无关的随机噪声。因此状态方程无需再为噪声提供出口，无需再进行扩阶。3）以最少的参数、最小的阶次来描述系统的特征和进行运算，从而减小了运算量。4）提高了算法的抗噪声干扰能力，避免了在模态转化过程中产生计算误差，即出现虚假模态。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所25（6）、模态参数辨识系统的模态参数可由系统矩阵A的特征值及特征向量来确定。系统矩系统矩阵A可由下式确定，对矩阵A进行特征值分解，求出特征值矩阵，然后求出特征向量矩阵式中：z为特征值矩阵；Ψ为特征向量矩阵，由此便可确定系统的模态振型，InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所26然后由下列公式可求的系统的模态频率ωr及模态阻尼ξr;矩阵A的特征值与系统特征值之间有如下关系；式中Zr及λr均为复数，可写成InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所27PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法(Polyreferenceleastsquarescomplexfrequencydomainmethod)，是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所28（1）建立频率响应函数模型多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据,其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。.在频域中，系统输出（，其中为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为（1）式中：—理论频响函数的第行，是输入点数，即激励数；—分子多项式行向量；—分母多项式矩阵。且和可以表示成如下形式：InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所29（）（2）（3）式中：N—多项式阶次其中分母系数矩阵和分子系数行向量是待估计的参数。所有这些系数合并为一个矩阵。（4）其中（5）InstituteofVibrationEngineering振动工程研究所30式（2）和式（3）中出现的多项式基函数，一般地，有以下两种选择：ⅰ.对于连续时域模型，可取为（6）式中：—缩放因子，用来提高方程的数值状况。ⅱ.对于离散时域模型，可取为（7）式中：—采样周期。通常采用离散时域模型。