中科院高等工程数学-01

高等工程数学AdvancedEngineeringMathematicsR21006Y40/2王泳中国科学院研究生院2011.02.26学习目标掌握一定的数学理论基础1具有比较宽广的数学知识面2为进一步学习和解决工作中遇到的实际问题打下坚实的基础3数值分析数理统计与随机过程矩阵理论线性空间与线性变换内积空间矩阵的标准形矩阵函数及其应用主要内容数值分析绪论.线性代数方程组的解法插值方法数值积分和数值微分公式方程求根常微分方程的数值解法矩阵特征值和特征向量计算数理统计的基本概念与抽样分布参数估计与假设检验Logistic回归的基本理论随机过程的基本概念几类重要的随机过程线性代数高等数学概率论参考书高等工程数学，华南理工大学出版社，2007，电子科技大学出版社，2008(第三版)，华中科技大学出版社，2001√参考书书不过语。语之所贵者意也，意有所随。意之所随者，不可以言传也。《庄子·天道》形而上谓之道，形而下谓之器。《周易·系辞》AdvancedEngineeringMathematics,2ndEditionMichaelD.Greenberg，AddisonWesley/Pearson，2004AdvancedEngineeringMathematics,5thEditionPeterV.O'Neil，Thomson，2004像读侦探小说一样学习数学时间安排()囧的事情共勉什么是真正的教育？德国二百年前的教育宣言曾经如此说道：教育的目的，不是培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未来局势中，自我做出有意义的选择。教育是以人为最高的目的，接受教育是人的最高价值的体现。------《一名大学毕业生的反思》矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。线性空间与线性变换内积空间矩阵的标准形矩阵函数及其应用矩阵理论•线性空间•基变换与坐标变换•子空间与维数定理•线性空间的同构•线性变换的概念•线性变换的矩阵表示•不变子空间•欧氏空间•正交基及子空间的正交关系•内积空间的同构•正交变换•复内积空间（酉空间）•正规矩阵•厄米特二次型•矩阵的相似对角形•矩阵的约当标准形•最小多项式•多项式矩阵与史密斯标准形•向量范数•矩阵范数•向量和矩阵的极限•矩阵幂级数•矩阵函数•矩阵的微分与积分•常用矩阵函数的性质•矩阵函数在微分方程组中的应用第一章：线性空间与线性变换线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7线性空间线性空间定义1.0数域复数a+bi;i2=-1如果复数的一个非空集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P为一个数域.自然数集合N整数集合Z有理数集合Q实数集合R复数集合C自然数域整数域有理数域实数域复数域是否构成数域？√√√集合注意：所有的数域都包含有理数域，且都包含整数0和1每个数的否（逆）也在同一数域中线性空间定义1.1线性空间设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：加法运算封闭加法运算与数域P无关线性空间定义1.1线性空间设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：乘法运算封闭线性空间定义1.1线性空间设V是一个非空集合，P是一个数域。如果满足以下三个条件：加法交换律加法结合律则集合V被称为数域P上的线性空间或向量空间；V中的元素通常被称为向量；V中的零元素被称为零向量；当P是实数域时，V被叫做实线性空间；当P是复数域时，V被叫做复线性空间存在零元、负元和单位元乘法结合率乘法分配律线性空间V中的零向量是唯一的V中每个向量的负向量也是唯一的线性空间例1.1线性空间例1.2例1.3例1.4线性空间定义1.2线性相关与线性无关一组向量（含有限个向量）线性相关时，则其中至少有一个向量可由组中其它向量线性表示；反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必定线性相关；一组线性无关的向量，则其中任一向量都不可能由组中其它向量线性表示性质线性空间定义1.3线性空间的基若基中向量个数为n，称n为V的维数，记作dimV＝n；若基中向量个数不是有限数时，称V是无限维向量空间（本课程不详介绍）；在n维线性空间中，任意的n个线性无关向量都构成它的一组基。定理1.1线性空间取定一组基后，每个向量x在这组基下的坐标是唯一确定的性质例1.1～1.3中线性空间、、的维数思考题基变换与坐标变换线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7基变换与坐标变换x问题已知：求解：基变换与坐标变换解：基变换矩阵A一定可逆吗？（10分）思考题子空间与维数定理线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7子空间与维数定理定义1.4子空间定理1.2子空间与维数定理例1.6定理1.3子空间与维数定理定理1.4和集并不是并集示例子空间与维数定理例1.7例1.6（10分）思考题子空间与维数定理定理1.5（维数公式）（证明略）子空间与维数定理推论证明：?命题得证子空间与维数定理定义1.5子空间的直和例1.8子空间与维数定理定理1.6证明：子空间与维数定理证明：定理1.6命题得证子空间与维数定理推论（10分）定理1.7思考题线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7线性空间的同构线性空间的同构同构是数学上的一个重要概念，它反映了具有相同运算规则的不同对象通过同构的建立，可以用一些我们熟悉的对象来认识运算性质相同的其它对象定义1.6线性空间的同构与同构映射线性空间的同构性质反证法有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向量的个数线性空间的同构定理1.8证明：定义同构映射σ：保持不同线性空间的基坐标相同推论（10分）线性变换的概念线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7线性变换的概念定义1.7线性变换线性变换的概念定义1.7.1线性变换例1.9线性变换的概念例1.10例1.11线性变换的概念例1.12例1.13线性变换的概念线性变换的性质思考一下线性变换都能把线性无关向量组变为线性无关向量组吗？线性变换的概念线性变换的运算线性变换的概念线性变换的运算性质线性变换的概念线性变换的运算性质求证：数域P上的线性空间的全体线性变换组成的集合，对于线性变换的加法及数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，并将其记作（10分）思考题线性变换的概念定义1.8线性变换的逆变换逆变换vs.负变换例1.14线性变换的概念例1.15定理1.9线性变换的矩阵表示线性空间1基变换与坐标变换2子空间与维数定理3线性空间的同构4线性变换的概念5线性变换的矩阵表示6不变子空间（略）7线性变换的矩阵表示定理1.10证明：线性变换的矩阵表示定理1.10证明：命题得证线性变换的矩阵表示推论1推论2线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示定理1.11推论定理1.12基变换与坐标变换不变子空间（略）子空间与维数定理线性空间的同构线性变换的矩阵表示线性变换的概念线性空间与线性变换总结线性空间[e-mail]