宠物销售问题

宠物销售问题摘要本文从宠物店卖小狗的实际问题出发，提出两种预定小狗的策略A和B。对于问题一，将策略A和B从已知条件抽象成数学表达式，然后跟据这些式子用Matlab编程来模拟这两种策略并比较了二者的优缺点。对于问题二，综合问题一中策略A和B的优缺点，提出了较为折中的策略C，在追求利润的同时考虑到成本。并通过Matlab编程实现了模型的验证。关键词：数学表达式抽象模拟Matlab一问题描述：一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ=0.1)。宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是20元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。策略A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的小狗，该狗6天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。问题：1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。2、请提出第三种更好的策略，写出数学证明,并用软件模拟。二模型的假设和说明：假设一：顾客源是无穷的；假设二：宠物价格再高，也有顾客买下；假设三：模型以1天为单位时间，且模拟1000天内的情况；假设四：时间原点，宠物店有宠物。设:ia第i个小狗到店时刻(1a为时间原点)；ib第i个小狗卖出时刻；ic第k个顾客到达时刻（0c为时间原点）；id第k-1个与第k个顾客到达的间隔时间（1d为时间原点到第1个顾客到达时刻的时间间隔）。三数学模型：问题一：编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。策略A模型由于每卖出一只宠物，宠物店就新预定一只，而预定的宠物需要到6天后才能到店里，可得（1.1.1）式16iiab（1.1.1）由题意可知，当顾客到达时刻该宠物店有宠物即能卖出，而若无宠物则未卖出，由此可得（1.1.2）式)k(的最小值为满足其中　　ikkiaccb（1.1.2）因为，kc是第k个顾客到达时刻（0c为时间原点），kd是第k-1个与第k个顾客到达的间隔时间，故又得（1.1.3）式1kkkccd（1.1.3）如示意图图1图1∵每天所卖出的宠物的数量服从Poisson分布(λ=0.1)，即!)(kekXPk∴卖出两只宠物的间隔时间服从指数分布（λ=0.1），即tetXP)(，即id服从指数分布（λ=0.1）宠物店1000天内养宠物的花费M为10()iiMba（1.1.4）宠物店1000天后的净利润（除去养宠物的花费）S为1max20Si(1.1.5)生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。策略B模型由于宠物店每隔10天就预定一只新的宠物，该宠物6天后到，可得（1.2.1）式116(1)10(234)iiiaiaai、、（1.2.1）参考策略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1.1.5）式原理，可列出（1.2.2）式、（1.2.3）式、（1.2.4）式和（1.2.5）式的最小值为满足　　其中ikkiaccbk（1.2.2）1iiiccd（1.2.3）10()iiNba（1.2.4）2max20Si(1.2.5)如示意图图2图2生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。问题二：提出第三种更好的策略，并加以验证。策略C：宠物店每隔6天就预定一只新的宠物，但最多只存放（养）2只宠物，若已经有2只，则不再预定新宠物，等到卖出一只宠物的那天再预定一只。策略C模型根据策略C可得（1.3.1）式21110112266iiiiiiiiiababaab（1.3.1）参考策略A的（1.1.2）式、（1.1.3）式、（1.1.4）式和（1.1.5）式原理，可列出（1.3.2）式、（1.3.3）式、（1.3.4）式和（1.3.5）式的最小值为满足　　其中ikkiaccbk（1.3.2）1iiiccd（1.3.3）10()iiOba（1.2.4）3max20Si(1.2.5)如示意图图3图3生成服从Poisson分布的随机数，进行模拟1000内的情况。四模型求解：经过思考，我选用matlab软件，因为matlab软件具有较大的实用性，且方便操作。Matlab模拟程序原理如下111jmax10()M20iiiiiiiicdccababMbaSi产生服从指数分布的随机数到计算出、的值由递推式循环得到、得到得到利润策略A的优点为：喂养宠物的成本花费较少；缺点为：卖出的宠物较少，盈利也随之减少。策略B的优点为：错过的顾客较少，宠物店存货丰富；缺点为：喂养宠物的成本花费很大。综合以上优缺点，参考上述两个营销思维，我们想出了较为折中的策略C，在追求利润的同时考虑到成本。五结果分析与总结：问题一结果分析：模拟结果如下表利润S（元）策略A2220策略B2820表1单从利润分析，策略B利润较大。问题二结果分析模拟结果如下表养宠物花费M（元）1000天时剩余宠物数（只）利润S（元）平均每卖1只宠物的花费（元）策略A759602220102.65策略B4430462820471.32策略C1650012940168.37表2很明显，策略C在利润上最大，且喂养宠物的成本较为合理，综合都方面因素，策略C较好。六参考文献：【1】堵秀凤.数学实验.科学出版社，2009【2】李大潜.中国大学生数学建模竞赛.高等教育出版社，2008七附录：模拟指数分布程序i=1;k=1;d=exprnd(10,[1,120]);d=round(d);c(k)=d(k);fork=2:120c(k)=c(k-1)+d(k);end图4指数分布生成图策略A的模拟程序：a(i)=0;b(i)=d(1);k=1;i=i+1;fork=1:120a(i)=b(i-1)+6;whilea(i)c(k)k=k+1;endb(i)=c(k);i=i+1;endi=1;M(i)=12*(b(i)-a(i));i=i+1;while(a(i)1000&b(i)1000)M(i)=12*(b(i)-a(i))+M(i-1);i=i+1;enda(i-1)ans=995b(i-1)ans=998a(i)ans=1003M(numel(M))ans=7596S1=30*(i-1)S1=2220策略B的模拟程序：a(i)=0;b(i)=d(1);k=1;i=i+1;a(i)=15;whilei=120whilec(k)a(i)k=k+1;endb(i)=c(k);k=k+1;a(i+1)=a(i)+10;i=i+1;endi=1;N(i)=12*(b(i)-a(i));i=i+1;while(a(i)1000&b(i)1000)N(i)=12*(b(i)-a(i))+N(i-1);i=i+1;enda(i-1)ans=935b(i-1)ans=998a(i)ans=945b(i)ans=1001N(i-1)ans=44304S2=30*(i-1)S2=2820策略C的模拟程序：a(1)=0;a(2)=10;b(1)=d(1);i=2;k=2;whilek=120ifa(i)=b(i-1)a(i+1)=b(i-1)+5;elsea(i+1)=a(i)+5;endwhilec(k)a(i)k=k+1;endb(i)=c(k);i=i+1;k=k+1;endi=1;O(i)=12*(b(i)-a(i));i=i+1;while(a(i)1000&b(i)1000)O(i)=12*(b(i)-a(i))+O(i-1);i=i+1;enda(i-1)ans=995b(i-1)ans=998a(i)ans=1000b(i)ans=1001O(i-1)ans=16500S3=30*(i-1)S3=2940