光明市的菜篮子工程

12012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012年8月21日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3光明市的菜篮子工程摘要本文研究的是蔬菜市场为满足不同条件的最优调配方案问题，用了Froyd算法、线性规划建立了一系列数学规划模型，并用MATLAB和LINGO软件编程实现。关于问题一：用Froyd算法结合MATLAB编程求出收购点至个菜市场的最短距离，以用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小为目标建立线性规划模型。用LINGO编程求得日均费用最少为4610元。关于问题二：在模型一的基础增加各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的约束条件，用LINGO编程求得最少日均费用以及最优供应方案。费用最少为4806元，供应方安见正文。关于问题三：在模型一的基础上，改为以供货充足、费用最小为目标，建立模型三，用LINGO编程求得日均费用为4770元，增产的蔬菜每天应分给C收购点8000Kg。关键字：蔬菜市场调配方案Froyd算法线性规划4一问题的重述光明市是一个人口不到15万人的小城市。根据该市的蔬菜种植情况，分别在花市（A），城乡路口（B）和下塘街（C）设三个收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场，该市道路情况，各路段距离（单位：100m）及各收购点，菜市场①⑧的具体位置见图3.2.按常年情况，A,B,C三个收购点每天收购量分别为200，170和160（单位：100kg）,各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg）见表3.设从收购点至各菜市场蔬菜调运费为1元/(100kg.100m).①7②54837A76B⑥6855471174③7566⑤35④86610C10⑧511⑦表3菜市场每天需求（100kg）短缺损失（元/100kg）①7510②608③805④7010⑤10010⑥558⑦905⑧808(a)为该市设计一个从收购点至个菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小；(b)若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案；(c)为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增产的蔬菜每天应分别向A,B,C三个采购点供应多少最经济合理。5二符号说明1,28AiDi……从A到i（各个菜市场）的最短距离1,28BiDi……从B到i（各个菜市场）的最短距离1,28CiDi……从C到i（各个菜市场）的最短距离1,28AiSi……从A到i（各个菜市场）的运货量1,28BiSi……从B到i（各个菜市场）的运货量1,28CiSi……从C到i（各个菜市场）的运货量P总调运费Q短缺损失R总费用三模型假设1、假设日需求量与缺货损失费用不变。2、假设在蔬菜调配的过程中无意外发生。3、假设新增产的蔬菜能够满足缺货量。四模型的建立与求解4.1问题一4.1.1问题的分析：为了使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小，即调运费用与缺货损失之和最小。首先考虑调运费用P，P为距离与送货量的积，因为与送货距离相关，我们必须先求出A、B、C三个采购点至各个菜市场的最短距离。采用Froyd算法，结合MATLAB编程实现。其次考虑缺货损失Q，以题中要求为约束条件，损失最低位目标建立线性规划模型，用LINGO编程求解。4.1.2模型的建立与求解：由图和表格的信息知，建立一个线性规划模型，使得蔬菜调运及预期的短缺损失为最小。调运总费用P为：6888111AiAiBiBiCiCiiiiPSDSDSD若使调运总费用最少，则应保证A、B、C三个收购点到8个菜市场的路程最短，最短路线的求解过程如图一：图一：求解过程图分析上图可知，该路线为无向网络，就该图而言，网络弧集为：E=[(v1,v2),(v1,v4),(v1,v5),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v2,v6),(v3,v2),.(v3,v6),(v3,v8),(v3,v9),(v4,v1),(v4,v5).(v4,v7),(v4,v10),(v5,v1),(v5,v2),(v5,v4),(v5,v6),(v5,v7),(v5,v8),(v6,v2),(v6,v3),(v6,v5),(v6,v8),(v7,v4),(v7,v5),(v7,v8),(v7,v11),(v8,v3),(v8,v5),(v8,v6),(v8,v7),(v8,v9),(v8,v11),(v9,v3),(v9,v8),(v9,v11),(v9,v13),(v9,v15),(v10,v4),(v10,v11),(v10,v12),(v10,v14),(v11,v7),(v11,v8),(v11,v9)(v11,v10),(v11,v12),(v12,v10),(v12,v11),(v12,v13),(v12,v14),(v13,v9),(v13,v12),(v13,v14),(v14,v10),(v14,v12),(v14,v13),(v15,v9)]下面来确定网络权矩阵：W=()nnijw其中iiw=ijl，当（iv,jv）属于E时，ijl为弧（iv,jv）的权iiw=0，i=1,2,3……nijw=inf,当（iv,jv）不属于E时。（inf为无穷大，n为网络结点个数）按上述规定，该网络的权矩阵为：707inf54infinfinfinfinfinfinfinfinfinf707inf83infinfinfinfinfinfinfinfinfinf70infinf6inf711infinfinfinfinfinf5infinf06inf5infinf7infinfinfinfinf48inf60748infinfinfinfinfinfinfinf36inf70inf5infinfinfinfinfinfinfinfinfinf54inf04infinf7infinfinfinfinfinf7inf85406inf5infinfinfinfinfinf11infinfinfinf60inf3inf6inf5infinfinf7infinfinfinfinf068inf10infinfinfinfinfinfinf753606infinfinfinfinfinfinfinfinfinfinfinf860105infinfinfinfinfinfinfinfinf6infinf10011infinfinfinfinfinfinfinfinfinf10inf5110infinfinfinfinfinfinfinfinf5infinfinfinfinf0因为上述网络有15个结点，故网络的权矩阵均为15阶矩阵。现在给出网络最短路线的Froyd算法：（1）d1=w.(w为所给网络的n阶权矩阵)（2）dk=()ijnndk,k=2,3,…,p.其中ijdk=min[(1)isdk+(1)sjdk,i,j=1,2,…,n.计算次数的确定：当ijw0时，p由下式确定：pln(n-1)/ln2，这样的dp就确定了网络各点间的最短距离。此处n=15,解出p3.8074故只需要取p=4即可，即算到d4即可。按照Froyd算法：d1=d,d2=fld(15,d1),d3=fld(15,d2),d4=(fld(15,d3),算的d4为：07145410812181215202422237071283128141913192024191470161361171118121817231651216061359157121521172048136074814131117202219103613709511161016172116881211549041012713161815128798540611511121611181411151411106093961451219187131612119068151014151312121110753606911820191815171613119860105142420172120171612615910011112224231722211816141011511019231916201916151151481411190d4即为该网络的距离矩阵，距离矩阵的第i行指明了iv到其他各点的最短距离。根据上述矩阵，分别找出A,B,C到①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧的最短距离，见表一：表一：收购点到菜市场的最短距离最短距离（单位：100千米）①②③④⑤⑥⑦⑧A488191162220B14771612162317C20191114615510调运量的限制：11122233344455566677788875608070100559080ABCABCABCABCABCABCABCABCSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS9短缺损失费为：1112223334445556667778881075860580107010100855590880ABCABCABCABCABCABCABCABCQSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS总费用为：RPQ由以上约束条件，用LINGO软件进行线性规划求解（源程序及完整运行结果见附录），部分运行结果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:4610.000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:10ModelClass:LPTotalvariables:26Nonlinearvariables:0Integervariables:0Totalconstraints:22Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:124Nonlinearnonzeros:0VariableValueReducedCostP3890.0000.000000Q720.00000.000000SA175.000000.000000SA20.0000000.00000010SA30.0000000.000000SA40.0000002.000000SA570.000000.000000SA655.000000.000000SA70.00000012.00000SA80.0000005.000000SB10.00000011.00000SB260.000000.000000SB380.000000.000000SB430.000000.000000SB50.0000002.000000SB60.00000011.00000SB70.00000014.00000SB80.0000003.