猪的最佳销售时机

数学建模论文肥猪的最佳销售时机作者:詹伟龙叶玲玲郑浩彬摘要猪的商业性饲养和销售的主要目的是获得最大利润，建立其最大利润方程得到猪的最佳销售时机具有十分重要的意义。猪的利润由销售额和饲养成本决定，而这两者均受诸多因素影响，为简化模型，以每头猪所获得的利润为研究对象，销售额在排除市场的影响后只由猪销售时的体重决定，而猪的体重随时间的变化可以用logistic模型来模拟，这样就解决了猪的销售额。另一方面，猪的饲养成本由猪仔的购价和饲料决定，而每头猪每天消耗的饲料随猪的三个生长阶段（小猪，中猪，大猪）而变化，由此建立分段函数来解决猪的饲养成本。所以，最大利润为销售额与饲养成本之差，通过以每头猪所获得的利润为目标函数来解决销售的最佳时机。为减少繁琐的计算及画图问题，我们在模型求解过程中使用了Matlab软件。关键词：肥猪最佳销售时机；饲料消耗；Logistic模型；利润；生长曲线；体重；生长量一、问题重述和分析一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。考虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。要求猪的最佳销售时机，目标是寻求最大利润的取得，由此实际上需要找出收入和支出分别是什么，受什么影响。为了简化问题，我们只考虑一头猪的利润，并且做了一系列的理想化的假设，比如生猪价格固定等，所以收入与猪的体重成正比，而成本则由固定成本（如猪仔价格，防疫费用）和变化成本（主要是饲料的消耗）组成，最终问题转化成建立猪的生长模型和饲料消耗模型。通过查阅大量相关资料，我们选择了用Logistic模型来模拟猪的生长情况，而对于后者，我们对实际原始数据进行了分析，建立了较理想的模型。而对于最优化的出售时机，可以考虑最大总利润的时间。二、模型假设1.不考虑猪的品种和猪的公母的区别2.在养猪期间，猪正常生长，不考虑猪生病或其他因素造成的成本3.猪是从猪仔饲养时的各生理条件一致4.每只猪的销售价格是紧仅由它的重量决定5.成本主要由饲料和猪仔价格决定6.生猪的价格固定，且其销售不受市场供求关系影响7.体重的绝对增重规律：一般体重的增长是慢—快—慢的趋势。三、符号说明C：饲养成本；S：销售价格；P：利润值；dN/dt：表明为猪生长速度；)(tN：是猪的日龄称重；t：为时间,用来表示猪的生长日龄,记刚买进仔猪的时间00t;r：为瞬间相对生长速度(近似),若自出生开始分析,则为出生时的相对生长速度,若自受精开始分析,则为受精卵的相对生长速度；0N：是猪的个体初始体重；mN：是猪成熟体重。四、模型建立求解⑴销售利润模型由利润=销售价格-成本得CSP（1.1）其销售价格与猪的质量有关，设猪在t天时的质量是N（t），销售价格为一公斤a元，销售价格是关于质量的一次函数，即)(taNS（1.2）猪的饲养成本为仔猪的价格和饲料的成本之和，由于猪在成长阶段的每个时期，每天所吃的饲料的数量f并不相同，而是随着猪的体重有所变化，所以f是质量N的函数，即)(Nf,对于猪的采食量（即猪消耗的饲料），我们从网上查到资料如下：体重)(tNkg6.51320304253647688100日采食量fkg0.250.650.91.41.822.22.733.2通过matlab软件对该十组数据描点并用最小二乘法进行了拟合（代码见附录），发现效果比较理想，由此把该拟合的线性关系作为体重和饲料消耗量的关系。数据拟合图线如下：每天饲料消耗量随体重变化图图一由图形曲线可以设猪的日采食量)(Nf与猪的重量)(tN的关系为qtpNNf)()(（1.3）根据附录1的Matlab程序可以得到p0.0307q0.2965故2965.0)(0307.0)(tNNf（1.4）饲料的总数量是)(Nf关于变量N的积分，即dNNfY)(（1.5）联立（1.4）与（1.5），又根据实际资料显示，当猪的重量达到100kg时，需要食用的饲料为260kg，所以有85.77)2965.0)(01535.0)((tNtNY（1.6）设饲料的价格为每公斤b元,仔猪的价格为0C，所以0)(CdNNfbC（1.7）综上所述可知0)()(CdNNfbtaNP（1.8）联立式子（1.4）和（1.7）0)()(2965.0)(0307.0)(CdNNfbtaNPtNNf得085.77)2965.0)(01535.0)(()(CtNtbNtaNP（1.9）⑵猪的生长模型实际中猪的生长变化规律是很复杂的，一般的，猪的体重会随着时间t的增加而增加。由于动物生长到一定程度后（即猪成熟之后），体重的增长速率下降知道不再增加而慢慢老化。假设当时间mtt时，猪的体重达到最大N（t）mN，为了简化模型，可以把猪的生长速率设为))(1(),(mNtNrNtv（2.1）当式子中的mtt时，)(tNmN，，从而),(Ntv0。于是猪的生长模型可以用Logistic模型来表示，其微分方程表示为:0)0())(1)(()(),(NNNtNtrNtNNtvdtdNm（2.2）方程（2.2）可用分离变量法求解得到)()10(1)1(00)(0ttreNNNrteNNrteNNtNmmmm（2.3）由（2.2）式子可以得出))(21)()(1)((022mmNtNNtNtNrdtNd（2.4）当022dtNd时，说明此时猪的增长速率最大，是“体重的增长是慢—快—慢的趋势曲线”的拐点，即mpNN21将其代入（2.3）计算得到00)1ln(rNNtmp上述说明点),(ppNt是)(tN的拐点，由显示资料显示，我们可以定义kgN150kgNm115024.0r利用Matlab编程可得到)(tN的图形如下图（代码见附录1）体重随日龄变化曲线图2⑶模型求解综上，由利润公式（1.9）和猪的质量生长公式（2.3）的)()10(1)(15.222)2965.0)(01535.0)(()(0ttreNNNtNtNtbNtaNPmm（*）由市场调查可知我们认为仔猪)15(kg的价格可以定为0C=300元，销售价格为一公斤11a元，饲料的价格为每公斤5.3b元所以，15.222)(49595.10)(053725.02tNtNP（1）由Mtlab程序（代码见附录3）可以得出，当6822.97053725.0*249595.10)(tN的时候，P取得最大值290.5，其图形曲线如下图所示利润随体重变化曲线图3由图二可知当6822.97)(tN时，t=152。故，最后得到的结果是在猪龄是152天的时候将其售出可获得到最大利润为290.5元。五、模型的检验1.考虑的成本过于理想。猪的成本不仅只有仔猪的价格和饲料的价格，它还包括猪在生长过程中必须的预防及药品费、工作人员的工资及水电费等。预防及药品费每头猪约为15元，工作人员的工资平均到每头猪约为30元，水电及其他费用每头猪约为5元。此时每头猪的成本价将再加上50元。可见此时利润大大减小。对于大规模猪场而言，利润较为合理。而对于中小规模的猪场而言有所偏低。但是，我们的模型中所用的猪肉市场价格正处于低谷，待猪肉价格回升以后，利润也必将有所提高。2.由模型的结果可知，模型中我们考虑的是单个猪获得的最大利润，而没有考虑单个猪每天所获得的最大利润，根据实际情况，在一段时期内，利润值随时间而增加，但是时间越长，而猪的生长周期一定，所饲养的批次就少，在较长的时间里其所获得总的利润不一定最大。没有考虑单个猪每天所获的利润是本模型的缺点。总体来说，上述模型与实际情况基本符合，但考虑的因素过于简单，有较大的改进之处。参考文献[1]孙华，彭先文，梅书棋.湖北白猪优质系生长曲线分析.湖北省农业科学院畜牧兽医研究所.2008-09-16.[2]徐如海，胡锦平，翁经强，褚晓红，黄少珍.连续日称重杜洛克公猪的生长曲线分析（Compertz模型）.浙江省农业科学院畜牧兽医研究所.2007-04-08[3]农博畜牧网.全国各地仔猪市场价格，全国各地生猪市场价格.[4]石辛民,郝整清.基于MATLAB的实用数值计算，清华大学出版社北京交通大学出版社附录1gridon;holdonf=[0.250.650.91.41.82.02.22.73.03.2];n=[6.51320304253647688100];p=polyfit(n,f,1)plot(n,f,'*','markersize',15)holdongridonx=0:0.1:100;y=p(1)*x+p(2);plot(x,y,'b-','linewidth',2)附录2n0=15;n1=115;r=0.024;t=0:500;d=(n1/n0-1)*exp(-r*t);n=n1./(1+d);plot(t,n,'linewidth',2)附录3n=[6.51320304253647688100];ni=0:1:150;a=-0.053725;b=10.49595;c=222.15;pi=a.*ni.^2+b*ni-c;plot(ni,pi)