椭圆定点定值问题

已知点)2,1(A是离心率为22的椭圆C：)0(12222baaybx上的一点．斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．（Ⅰ）ace22，12122ab，222cba2a，2b，2c14222yxXYODBA（Ⅱ）设直线BD的方程为bxy242222yxbxy0422422bbxx06482b2222b,2221bxx----①44221bxx-----②222128264864343)2(1bbxxBD，设d为点A到直线BD：bxy2的距离，3bd2)8(422122bbdBDSABD，当且仅当2b时取等号.因为2)22,22(，所以当2b时，ABD的面积最大，最大值为2（Ⅲ）设),(11yxD，),(22yxB，直线AB、AD的斜率分别为：ABk、ADk，则ABADkk122122121222112211xbxxbxxyxy=]1)(2[22212121xxxxxxb------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121xxxxxxb=0，即ABADkk0已知椭圆22221xyab（0ab）经过点31,2，且椭圆的左、右焦点分别为1F1,0、2F1,0，过椭圆的右焦点2F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．（1）求椭圆的方程；（2）求11CD的值；（3）求9CD16的最小值．（1）法一：由椭圆的定义可知2212332||||(11)()422aMFMF2a由1c得3b故椭圆的方程是22143xy；法二：由已知得，222291411abab，得2243ab，故椭圆的方程是22143xy；（2）椭圆的右焦点为2(1,0)F，分两种情况讨论如下：1°当直线AB的斜率不存在时，AB:1x，则CD:0y．此时||3AB，||4CD,117||||12ABCD；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:(1)(0)ykxk，则CD：1(1)yxk．又设点1122(,),(,)AxyBxy．联立方程组22(1),3412,ykxxy得2222(43)84120kxkxk，所以2122843kxxk，212241243kxxk|AB|2212121()4kxxxx4222226416(3)(43)1(43)kkkkk2212(1)43kk由题知，直线CD的斜率为1k，同理可得2212(1)||43kCDk所以2211777||||12(1)12kABCDk为定值．（3）解：由（II）知117||||12ABCD，所以912911||||(||||)()16716||||ABCDABCDABCD9||1225||16()716||||CDABABCD9||1225||2116(2)716||||4CDABABCD，当且仅当9||||16||||CDABABCD，即3||||4ABCD，即||3,||4ABCD时取等号所以9||||16ABCD的最小值为214．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22,且过点21(,)22P,记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点,试求ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为12,kk的直线交椭圆于D,E两点,且122kk,求证:直线DE恒过一个定点.(1)由222222211124caababc,解得12222abc,所以椭圆C的方程为2221xy(2)设(,)Bmn,(,)Cmn,则12||||||||2ABCSmnmn又2222122222||||mnmnmn,所以2||||4mn,当且仅当||2||mn时取等号从而24ABCS,即ABC面积的最大值为24(3)因为A(－1,0),所以12:(1),:(1)ABykxACykx,由122(1)21ykxxy,消去y,得2222111(12)4210kxkxk,解得x=－1或21211212kxk,∴点2112211122(,)1212kkBkk同理,有2222222122(,)1212kkCkk,而122kk,∴211221184(,)88kkCkk∴直线BC的方程为11222111122221111221142281212()8121212812kkkkkkyxkkkkkk,即21112221112312()122(2)12kkkyxkkk,即112211352(2)2(2)kkyxkk所以2112(35)0ykxky,则由0350yx,得直线BC恒过定点5(,0)3在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、22N(x,y)，其中m0,0,021yy。（1）设动点P满足22PFPB4,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由22PFPB4，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209）。直线MTA方程为：0352303yx，即113yx，直线NTB方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点T的坐标为10(7,)3。3）∵点T的坐标为(9,)m∴直线MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线NTB方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223(80)40M(,)8080mmmm、2223(20)20N(,)2020mmmm。当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0）；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。