专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形一知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2tan221bSPFF性质三：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.2112cos222eab并且点P在y轴上是张角最大。证明：设,,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1244242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrryF1OF2xP.21121)2(22222212eabrrb当切仅当21rr，即点P在y轴是cos取的最小值，而角取得最大值。二典型例题例1如图把椭圆2212516xy的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF_____解：只需取椭圆的另一焦点与1P,2P,……7P七个点分别连接，由结论1和对称性可知1271......145352PFPFPF例2若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，1）求△21PFF的面积2）求点P的坐标例3已知1F、2F是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，椭圆上一点P使9021PFF，求椭圆离心率e的取值范围。由焦点三角形性质二，.2190cos20e22≤e＜1三练习题1.椭圆1244922xy上一点P与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则△21PFF的面积为（）A.20B.22C.28D.242.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积为1时，21PFPF的值为（）A.0B.1C.3D.63.椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积最大时，21PFPF的值为（）A.0B.2C.4D.24．已知椭圆1222yax（a＞1）的两个焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，且6021PFF，则||||21PFPF的值为（）A．1B．31C．34D．325.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F、2F为焦点，点P在椭圆上，直线1PF与2PF倾斜角的差为90，△21PFF的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.62212,:1,84xyFFC是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在PPFPFC21A.0B.1C.3D.47椭圆22194xy的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，点P横坐标的取值范围是。8已知椭圆的两个焦点为1F、2F，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A22B212C22D219已知△ABC的顶点B、C在椭圆24x+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是.10设F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,点M在椭圆上,若△MF1F2是直角三角形,则△MF1F2的面积等于()(A)(B)(C)或16(D)或16变式设F1,F2是椭圆141622yx的左、右焦点,点M在椭圆上,若△MF1F2是直角三角形,则△MF1F2的面积等于？