三角形的内角平分线和外角平分线组成的角

三角形的内角平分线与外角平分线组成的角蒋场中学数学教研组郑芳芳知识梳理:1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；3.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；4.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为P，已知∠A=80°，求∠CPB的度数。9--3解：∵∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°，∵PB，PC分别是△ABC的角平分线,∴∠1+∠2=50°∴∠CPB=130°12变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠CPB的度数。9--4解：∵∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α，∵PB，PC分别是△ABC的角平分线,∴∠1+∠2=（180°－α）/2，∴∠CPB=180°－（180°－α）/2=90°＋α/212归纳：三角形的两条内角平分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半。2：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠CPB的度数。9--5解：∵PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线∴∠1=1/2∠ABE,∠2=1/2∠ACB∵∠1=∠2+∠P∴∠P=1/2∠ABE﹣1/2∠ACB=1/2（∠ABE﹣∠ACB）=1/2∠A=30°E12变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠CPB的度数。9--6解：∵PB，PC分别是△ABC的角平分线和外角平分线∴∠1=1/2∠ABE,∠2=1/2∠ACB∵∠1=∠2+∠P∴∠P=1/2∠ABE﹣1/2∠ACB=1/2（∠ABE﹣∠ACB）=1/2∠AE12归纳：三角形的一条内角平分线和另一个角的外角平分线所夹的锐角等于第三角的一半。3：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠CPB的度数。9--7解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1/2（∠CBD+∠BCE）=180°-1/2（∠A+∠ACB+∠BCE）=180°-1/2（∠A+180°）=90°-1/2∠A=60°ED变化：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α°，求∠CPB的度数。9--8解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1/2（∠CBD+∠BCE）=180°-1/2（∠A+∠ACB+∠BCE）=180°-1/2（∠A+180°）=90°-1/2∠AED归纳：三角形的两条外角平分线所夹的锐角等于90°减去第三角的一半。4.如图，已知△ABC，P是平面内的任意一点，作出到三边距离相等的点P，这样的点有几个？可分为两种情况：（1）点P在形内一个，分别作两个内角的角平分线，交点即为所求；（2）点P在形外3个，分别作两个外角的角平分线，交点即为所求。A9--9