异面直线所成的角求法-总结加分析

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝3FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝BM＝6，cos∠GNA＝1030562556。BMANCSABCDA1B1C1D1EF5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝AEAA＝21，所以AE和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝∥AB＝∥AB,∴ABFE是平行四边形，从而BF＝∥AE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得：cos∠A′BF＝5105222)5()5()22(2227.长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。ABFM(图1－29)55B(图1－28)AABCDCDFE解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734170∴∠DB1E=cosarc734170。解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170，∴∠C1BE=cosarc734170。练习：8.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=3，求DB和AC所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=352，∴cos∠BOE=734170∴∠BOE=cosarc734170解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=732，cos∠OEF=734170，∴异面直线B1D与BC1所成的角为cosarc734170。解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=352，cos∠DOF=734170，∴∠DOF=cosarc734170。课堂练习10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。EDBCA补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170，∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc734170。课堂练习：11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B奎屯王新敞新疆连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，APAO1cos.在直角△ABC中，AOAB2cos.在直角△ABP中，APABcos.所以coscoscos21APABAOABAPAO所以coscoscos21奎屯王新敞新疆21cbaPOAB证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。可知PB⊥AB。所以cosθ1=PAOA，cosθ=PAAB，cosθ2=OAAB。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。12.如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45°，直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足cosθ=cos45°·cos45°=21，所以直线AC与MB所成的角为60°。13.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（D）（A）34（B）54（C）74(D)34解：设BC的中点为D，连结1AD，AD，易知1AAB即为异面直线AB与1CC所成的角,由三角余弦定理，易知113cocs4oscosADADAADDABAAAB.故选D14.如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°·cos45°=42，所以其大小为arccos42。PbABOαPEDFABCBCBCA111ADABCDM模型2定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为，则有证明：CADACAABCADAABCADBDAABDBCOSDBDBCADB而2222222222222CDABBCADCDACADBCACAB所以有：15.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得由定理得：所以二、向量法求异面直线所成的角16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。在△GHS中，设正方体边长为a。GH=46a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ连QH，可知△GQH为直角三角形），HS=26a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），GS=426a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。∴Cos∠GHS=61。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为61。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量1EA的坐标为（-1，2，1），向量FB1的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ满足cosθ=||||1111FBEAFBEA=222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(=-61。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为6117.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。（平移法也可）解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，且两两之间的夹角均为60°。由向量的