柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,naaabbcbd令，得二维形式22222bdacdcba等号成立条件：dcbabcad//扩展：222222222123123112233nnnnaaaabbbbabababab等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,iiiinniiababababababin当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：22222222222222222222222,,,220=abcdabcdRacbdadbcacabcdbdadabcdbcacbdadbcacbdadbcadbc等号在且仅在即时成立三角形式222222abcdacbdadbc等号成立条件：三角形式的证明：222111nnnkkkkkkkabab22222222222222222222222222222222-2abcdabcdabcdabcdacbdaaccbbddacbdabcdacbd注：表示绝对值两边开根号，得向量形式123123=,,,,,,,,2=nnaaaabbbbnNnR，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：1231231122332222222212312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos,cos,cos,1nnnnnnnnnnmaaaanbbbbmnababababmnmnaaaabbbbmnmnababababaaaabbbb令一般形式211212nkkknkknkkbaba1122:::nniiabababab等号成立条件：，或、均为零。一般形式的证明：211212nkkknkknkkbaba证明：222222=/2=/2ijjiiijjjjiiababnababababn不等式左边共项不等式右边共项用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。12121212121111111231111,mnnmmmnmmmmmmmmiiiiniiiixxxxxxxxxxxxxmnN其中，或者：111111,mmmnnmijijjijiijxxmnNxR其中，，或者11221111nnnnnnxyxyxyxyxxy注：表示，，，x的乘积，其余同理推广形式的证明：推广形式证法一：111222112112121212112112121212112,,+nnnnnnnnnnnnnnnnnnnAxyAxyAxyxxxxAAAxxxnAAAAAAyyyyAAAyyynAAAAAAnxAAA记由平均不等式得同理可得上述个不等式叠加，得11121111112112211+nnnnnnnnnnnnnnyAAAxyAAAxyxyxyxyxy即即，证毕或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下：111111221111111111111111111mmjjnnmjjjiiimmjjnnmjjjiiimmjnjnnnmjjjijiiimmnjknkjjiimjkjmnjiijxxmxxjixxmxxjixxmxxxxxx由均值不等式同理有以上各式相加得上式也即11111111,1mnkmmnnmjkjikijjxxm该式整理，得：得卡尔松不等式，证毕付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法：22211nnbababa222221222221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立（k为常数，ni2,1）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数2222211)(nnbxabxabxaxf=22222121122122nnnnnnaaaxabababxbbb22120nnaaa0fx恒成立2222211221212440nnnnnnabababaaabbb即2222211221212nnnnnnabababaaabbb当且仅当01,2iiaxbxin即1212nnaaabbb时等号成立证明（2）数学归纳法（1）当1n时左式=211ab右式=211ab显然左式=右式当2n时，右式2222222222121211222112aabbabababab2221122121212222ababaabbabab右式仅当即2112abab即1212aabb时等号成立故1,2n时不等式成立（2）假设nk,2kk时，不等式成立即2222211221212kkkkkkabababaaabbb当iikab，k为常数，1,2in或120kaaa时等号成立设22212kaaa22212kbbb1122kkCababab则2222211111kkkkkabbab22221111112kkkkkkCCababCab22222222121121kkkkaaaabbbb2112211kkkkabababab当iikab，k为常数，1,2in或120kaaa时等号成立即1nk时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的应用1、巧拆常数证不等式例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2222abbcacabc.abc、、均为正数111292=abcabbcacabcabbcac为证结论正确，只需证:而为证结论正确，只需证：又29(111)只需证:211121111119abcabbcacabbcacabbcac又abc、、互不相等，所以不能取等原不等式成立，证毕。2、求某些特殊函数最值例2：3549yxx求函数的最大值。函数的定义域为[5，9],0y3549324225295*21045=396.44yxxxxxxx函数仅在，即时取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。已知点00,xy及直线:l0xyC220设点p是直线l上的任意一点，则0xxC（1）22120101ppxxyy（2）点12pp两点间的距离12pp就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有222201010101xxyyxxyy0011xyCxyC由（1）（2）得：221200ppxyC即001222xyCpp（3）当且仅当0101:yyxx12ppl（3）式取等号即点到直线的距离公式即001222xyCpp4、证明不等式例3已知正数,,abc满足1abc证明2223333abcabc证明：利用柯西不等式23131312222222222abcaabbcc222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc5、解三角形的相关问题例4设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。6、求最值例5已知实数,,abc,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当236121316bcd时等号成立，代入111,,36bcd时，max2a211,,33bcd时min1a7、利用柯西不等式解方程例6在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：由柯西不等式，得222222286248624xyzxyy①2222228624xyz2964364144394又22862439xyy222222286248624xyzxyz即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数12211()()niiinniiiixxyyxxyyr=，并